0より大きいことの証明

最後の行のように2乗と2乗の和で表したいのですが これの一つ手前の式から最後の形にするやり方がわかりません よろしくお願いします

しみ りつさん、こんばんは。 一つ手前の式の値が正であることを示したいのですね。 一般的にはどちらかの文字について平方完成してみるというのが、まずやってみることでしょう。 ａについて平方完成してみますね。 $=\dfrac{4}{45}\Big(a^2+\dfrac{45}{24}ab\Big)+\dfrac{1}{12}b^2$ $=\dfrac{4}{45}\Big(a^2+\dfrac{45}{24}ab+\big(\dfrac{45}{48}b\big)^2\Big)-\dfrac{4}{45}\big(\dfrac{45}{48}b\big)^2+\dfrac{1}{12}b^2$ $=\dfrac{4}{45}\Big(a+\dfrac{45}{48}b\Big)^2+\dfrac{1}{192}b^2>0$ と示せます。 次に、ｂについて平方完成してみますよ。 $=\dfrac{1}{12}(b^2+2ab)+\dfrac{4}{45}a^2$ $=\dfrac{1}{12}(b^2+2ab+a^2)-\dfrac{1}{12}a^2+\dfrac{4}{45}a^2$ $=\dfrac{1}{12}(b+a)^2+\dfrac{1}{180}a^2>0$ と示せます。 ま、どちらが楽だったかと言えばｂについて平方完成したほうが楽ですね。 係数をよ～く見れば、ｂでやった方が楽だと見抜けるかもしれません。 でも、この問題はどちらでやってもできますので、とにかく2文字の2次式が正であることを示したかったら、とりあえずは平方完成してみようと思い出してください。ただし、平方完成すれば必ず示せるとは限りませんので、ａ，ｂどちらでやってもうまくいかない時は別の手を考えるしかないですが。　 あ、本質的には同じことなんですが、aまたはbについての２次関数とみて、判別式<0を示すのも楽そうですよ。 これで大丈夫ですか？わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。