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どこがおかしいのか教えてください
積分の問題です。答えは画像の（5）です。私の解き方の間違ってるところを教えてください
回答
とつぃ ひさん、こんにちは。
部分分数分解はOK。
その4個の積分のうち、3番目以外もOK!
はじめの2個の結果はまとめられて、
$\rightarrow \log x^2-\log(x+1)^2$
$=\log \dfrac{x^2}{(x+1)^2}$
となって、めでたしめでたし。まとめられる対数はまとめた方がいいです。
3番目と4番目の積分ですが、もし置換積分で考えるなら、どちらもx+1=tと置けばdx=dtだし、
$\dfrac{1}{t^2}$ と $\dfrac{1}{t^3}$ の積分ですからなんてことないですよね。
それぞれ $-\dfrac{1}{2t},-\dfrac{1}{3t^2}$ となり、通分して一つの分数にしてからx+1に戻して整理したら正解になると思いますよ。
やってみてください。
（追記: 2024年1月29日19:21）
15:58に対する返事：
対数の超基本です。の数Ⅱ教科書の対数の初めの方を見てください。
公式：$\log a^b=b\log a$
16:22に対する返事：
置換積分ではだめだなんて言いませんよ！
$ax+b=t$ というような1次式の置換は、これも教科書にあると思いますが、
$\int f(ax+b)dx=\dfrac{1}{a}F(ax+b)$
（Fはｆの不定積分）
が使えるようにぜひ練習してください。いちいち置換の手順を踏まなくてもできて、スピードアップ間違いなしです。
16:28に対する返事：
あなたのやり方って、置換積分ですか？4番目の置換積分はできていますからいいですね。3番目の積分のところでは、左側下から3行目の分母がｎではなくｎ²です。そこだけの間違いですので、ご自分でやってみてください。再挑戦してもダメだったら、またそこまでのノートをアップしてください。間違いを見つけますから。
ありがとうございます！やってみます！
2logXはlogX^2になるのですか？
重ねてすみません。私が三番目と四番目の積分で使ったlogをつくる置換積分はどうしてダメなんでしょうか？
くさぼうぼうさん、お手本として私のやり方で解いてみてはくださいませんか
追記しましたので読んでください。
いっぱいありがとうございます！やってみます！