帰納法について

こちらの問題なのですが、 左側は自分で記載したのですが、解答と照らし合わせてほぼ合っていた記述なのですが、 、左の記載は成り立たないのかなと思って書いてみたのですがご確認お願いできますでしょうか、、 私は、2左側の記述は、21でくくられているので一瞬21で割れると思ったのですが、カッコ内がマイナスが入っていて、全てのnで成り立つかと言われるとそうではないのかなと思い、この式は成り立たないのかなと思っているのですが、合っていますでしょうか、、

eriさん、こんにちは。 数学的帰納法の推論の仕方が乱れています。 n=1のときはいいですが、第2段階では（＊）を仮定するとありますがそうではないでしょう。ｎ＝ｋのときａｎが２１で割り切れることを仮定する、ですよね。 「n=kのとき題意が成り立っていると仮定する。すなわち$a_k=4^{k+1}+5^{2k-1}=21M$…① （Mは整数）と書ける。」 たぶん気分は同じなのでしょうが、n=kのとき何を仮定しているのかをはっきり書きましょう。 そのあとは、あれこれやって、途中で①を使い、「ほら見ろ、$a_{k+1}=21\times$（整数）となるのでn=k+1の時も成立することが示せた、ってなるんだから、 ①のあとは 「このとき、$a_{k+1}=$」 から始まって $=4^{k+2}+5^{2(k+1)-1}$ となり、ここに①が適用できるように意図して変形しますよ。 $=4(4^{k+1}+5^{2k-1})+21\cdot5^{2k-1}$ $\Big(=4\cdot a_k+21\cdot5^{2k-1}\Big)$ $=4\cdot 21M+21\cdot5^{2k-1}$ $=21(4M+5^{2k-1})$ ここで、$4M+5^{2k-1}$ は整数なので $a_{k+1}$ も２１で割り切れる。よってn=k+1の時も成り立つことが示せた。 となります。自然に流れていると思いませんか？無理やりやったのはakを作るところだけ。そこは自分の意図がしっかりあるかどうかです。数学的帰納法の証明の流れは決まっていて、途中で ①を変形した２１M-5$^{2k-1}$ みたいなものはなるべく使いません。 それは自然な流れではないですね。 下から6行目のMは前に使っていますからよくないですね。 どの程度減点されるかわかりませんが… 「もう一つのやり方」のほうは、冒頭の1行は解答としてはまずいです。これを示そうとしているのですから。それをもとにした変形は使わないほうがいい。 もう一回、数学的帰納法の証明の筋道を、やさしい例題をよく読んで身に着けてください。