確率

いもっちの妹 (id: 2883) （2024年1月30日22:48）

33個の1〜4の数字がでる4面ダイスを回したとき、出た目の合計が900以上になる確率、800未満になる確率が知りたいです。また、求め方も知りたいです。自分はどう求めたら良いのか全然わかりません。

回答

くさぼうぼう : (id: 1236) （2024年1月30日23:40）

質問の際は学年も教えてください。問題の内容によってはわからなくても想像がつきますが、このような確率は中学生も可能性があるので。高校生なら，何年なのか。2項分布とか正規分布は学習済みなのか。そのへんも教えてください。ただ、もう時間が遅いので、対応は明日になってしまいますが、あしからず。あ、正4面体のさいころですね？１～４は等確率ですね？それを３３個いっぺんに投げるのですね。爽快ですね！

（追記: 2024年2月2日22:08）

333個とは、また凄い！さて、実は自信をもって「これだ！」と言えないのですが… サイコロ1個を投げたときの目を確率変数とするとき、平均は5/2、分散は5/4だと思います。独立な試行ですから、平均や分散は足し算で（ここでは同じだから掛け算で）求まるので、３３３個分では、出た目の合計Xの平均は5/2×333＝832.5、分散は5/4×333＝416.25。サイコロが多数なので、Xは正規分布N(832.5,416.25）に従います。←実はここの所の論理的説明がいまいちうまく書けません。これを正規化するので、確率変数Z=$\dfrac{X-832.5}{\sqrt{416.25}}$ という変換をしてN(0,1)としてやります。 X=９００→Z=３．２、ｘ＝８００→Z=－１．６　となりますので、 P(Z≧3.2）と、P(z≦-1.6）を、標準正規分布表から読み取ります。 P(Z≧3.2）＝0.0007 P(z≦-1.6）＝P(Z≧1.6）＝0.0548 ですので、和が９００以上になる確率は０．０００７和が８００以下になる確率は０．０５４８これで大丈夫ですか？これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。会話型を目指しています（笑）。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメント、よろしく。

いもっちの妹 (id: 2883) （2024年1月31日6:58）

学年も書いておくべきでした。すみませんでした。今高校2年で二項分布、正規分布は最近習い終わったところです。正4面体のさいころです。 33個いっぺんに投げます。非常に爽快です

くさぼうぼう : (id: 1236) （2024年1月31日12:39）

一夜明けてみたら、あれれ？？１から4までの数字が1個ずつ書いてある正4面体のさいころ33個ですよね？それだとｍａｘでも１３２なので、９００以上になる確率は０、８００未満になる確率は１です！なにか、問題の数値を間違っていませんか？

くさぼうぼう : (id: 1236) （2024年1月31日12:43）

正4面体のさいころの「出た目」は、床についた面の目でいいのかな？それとも見えている3つの面の合計とか…だんだん問題が怪しくなってきましたが、オリジナルの問題文を見たいです。

いもっちの妹 (id: 2883) （2024年2月2日20:52）

ごめんなさい。サイコロの数333個です。間違えました。はい、サイコロの「出た目」は床についている面の目です。オリジナル問題今手元にないんですすみません。

くさぼうぼう : (id: 1236) （2024年2月2日22:10）

３３３個！追記しましたので読んでください。

綾野穂香 (id: 2794) （2024年2月3日8:08）

ダイスの和の確率分布を正規分布で近似できる理由を補足させていただきます。$333$ 個のダイスを回したとき、出る目の和を $X$, 出る目の平均を $Y$ とすると、$X=333Y$ です。中心極限定理より $Y$ は正規分布 $N(5/2, (5/4)/333)$ に近似的に従います。$X=333Y$ より $X$ の平均は $Y$ の平均の $333$ 倍, $X$ の分散は $Y$ の分散の $333^2$ 倍です。また、$Y$ が正規分布に近似的に従うため、$X$ も正規分布に近似的に従います。そのため、$X$ は正規分布 $N((5/2) \cdot 333, ((5/4)/333) \cdot 333^2)$ に近似的に従います。ちなみに、コンピュータで厳密解を求めると、和が $900$ 以上となる通り数 $A$ は $$A=154102459378812859258299560861554309431347911902692028324542207586398261526985506589551129196105611367457102982094704497612105635755331053315069757553584148244309969797622166717377747752567831450380$$ で, 和が $800$ 未満となる通り数 $B$ は $$B=16191467468849558459274947420883295642221899209662082336888788436389357382513211965185252344633976283603259504606867252588683251959641396195550747412030388691711440290861894838290078085394086286808886$$ です。そのため、和が $900$ 以上となる確率は $A/4^{333} \fallingdotseq 0.0005033$, 和が $800$ 未満となる確率は $B/4^{333} \fallingdotseq 0.0528821$ です。ダイスの個数が $333$ 個であっても、それなりの精度で近似できていることが分かります。

いもっちの妹 (id: 2883) （2024年2月4日19:39）

さいころ333個分で、出た目の合計Xの分散は5/4×333＝416.25となるんですね！分散も平均と同じで333をかけるだけだったんですね、それを知らず私は初めから333個から分散を求めようとしてわからなくなってしまって、標準偏差が求められなくて悩まされてました。新しい知識も入りスッキリしました。ありがとうございました。今回の件と直接関係はないのですが√416.25の√を外すのに良い方法、楽な方法があれば教えて欲しいです。

綾野穂香 (id: 2794) （2024年2月3日8:14）

くさぼうぼうさんの回答にコメントしたのですが、数式がうまく表示されないようですので、こちらに書いておきます。以下コメントと同じ内容です。ダイスの和の確率分布を正規分布で近似できる理由を補足させていただきます。$333$ 個のダイスを回したとき、出る目の和を $X$, 出る目の平均を $Y$ とすると、$X=333Y$ です。中心極限定理より $Y$ は正規分布 $N(5/2, (5/4)/333)$ に近似的に従います。$X=333Y$ より $X$ の平均は $Y$ の平均の $333$ 倍, $X$ の分散は $Y$ の分散の $333^2$ 倍です。また、$Y$ が正規分布に近似的に従うため、$X$ も正規分布に近似的に従います。そのため、$X$ は正規分布 $N((5/2) \cdot 333, ((5/4)/333) \cdot 333^2)$ に近似的に従います。ちなみに、コンピュータで厳密解を求めると、和が $900$ 以上となる通り数 $A$ は $$A=154102459378812859258299560861554309431347911902692028324542207586398261526985506589551129196105611367457102982094704497612105635755331053315069757553584148244309969797622166717377747752567831450380$$ で, 和が $800$ 未満となる通り数 $B$ は $$B=16191467468849558459274947420883295642221899209662082336888788436389357382513211965185252344633976283603259504606867252588683251959641396195550747412030388691711440290861894838290078085394086286808886$$ です。そのため、和が $900$ 以上となる確率は $A/4^{333} \fallingdotseq 0.0005033$, 和が $800$ 未満となる確率は $B/4^{333} \fallingdotseq 0.0528821$ です。ダイスの個数が $333$ 個であっても、それなりの精度で近似できていることが分かります。

（追記: 2024年2月4日21:49）

$4^{333}$ 通りを実際に調べることは宇宙の年齢をかけても時間が足りません。そこで、$f(n,s)$ を $n$ 個のダイスを回して出る目の和が $s$ となる通り数とすると、$333$ 個の目の和が $900$ 以上の通り数は $f(333,900)+f(333,901)+\cdots+f(333,1332)$, $800$ 未満の通り数は $f(333, 333)+f(333,334)+\cdots+f(333, 799)$ です。そのため、各 $f(n,s)$ の値が分かればよいです。$n\geqq 2$ のとき $n$ 個のダイスを回して出る目の和が $s$ となるのは、「$n-1$ 個のダイスを回して出る目の和が $s-1$ で、残り1個のダイスを回して出る目が $1$」「$n-1$ 個のダイスを回して出る目の和が $s-2$ で、残り1個のダイスを回して出る目が $2$」「$n-1$ 個のダイスを回して出る目の和が $s-3$ で、残り1個のダイスを回して出る目が $3$」「$n-1$ 個のダイスを回して出る目の和が $s-4$ で、残り1個のダイスを回して出る目が $4$」の4つの場合があるため、次の式が得られます。 $$ \left\{ \begin{array}{l} f(1,s)=1\ (1\leqq s \leqq 4)\\ f(n,1)=0\ (n\geqq 2)\\ f(n,2)=f(n-1,1)\ (n\geqq 2)\\ f(n,3)=f(n-1,1)+f(n-1,2)\ (n\geqq 2)\\ f(n,4)=f(n-1,1)+f(n-1,2)+f(n-1,3)\ (n\geqq 2)\\ f(n,s)=f(n-1,s-4)+f(n-1,s-3)+f(n-1,s-2)+f(n-1,s-1)\ (n\geqq 2,s\geqq 5)\\ \end{array} \right. $$ 小さい $n,s$ で計算してみてください。表を書いて、$n$ 行目, $s$ 列目に $f(n,s)$ の値を書いていくと、上の行から順に埋められます。元の問題を解く上で必要な表は $333$ 行 $1332$ 列です。この程度であれば、巨大な数に対応した表計算ソフトを使えば、家庭用パソコンでも計算可能です。

いもっちの妹 (id: 2883) （2024年2月4日19:41）

詳しくありがとうございます。ただの好奇心なのですが、コンピュータで厳密解を求めるとは一体どのようなことをするのでしょうか。高校2年にもわかるようなものであれば教えて欲しいです。

綾野穂香 (id: 2794) （2024年2月4日21:50）

コンピュータで求める際に用いた手法を回答に追記しました。

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