複素数平面 証明問題なので大体の考え方も教えて頂けると助かります

(1)は座標平面に直して考えたのですが上手くいかなかったです。

梅原 梅原さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 （１）は複素数の問題として解きましたが、座標を使ったり、ベクトルを用いて解いたほうがわかりやすいですね。 $l$ と $m$ が直交するということは、OAとOBが直交することなので、その２つの複素数の偏角の差が $\pm\dfrac{\pi}{2}$ です。偏角の差は複素数の割り算をすれば偏角の引き算になります。ですから割り算をした結果が偏角が $\pm\dfrac{\pi}{2}$ の複素数、すなわち純虚数になっているということです。よって、いまから $\dfrac{\alpha +\beta}{\alpha -\beta}$ の結果が純虚数のなることを示そうと思います。 $W=\dfrac{\alpha +\beta}{\alpha -\beta}$とします。……いや、式を書こうかと思ったけど、共役の記号とか書いて入れるのがとても手間がかかるので言葉で説明します。 まず、分母を実数化するために分母の共役複素数を分母分子にかけます。サインやコサインなど使わずにα、βのままで大丈夫です。共役の記号を付けて計算します。分母分子にかけるものはけっきょくαの共役ひくβの共役です。 これで分母は実数になりました。これをAとでもしておき、あとは分子をひたすら展開していきますと（｜α｜も｜β｜も１であることに注意）、分子は $-\alpha \overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta$ となります。この分子の複素数をZとしておきます。 $W=\dfrac{Z}{A}$ で、Aは実数です。 ここでWの共役複素数の作ると、分母Aは実数だからそのまま。分子の複素数Zの共役を作ればいいことになります。で、実際にZにバーをつけてから個々のαやβにも及ぼしていくと結果がーZとなります。 つまりWの共役複素数＝$-\dfrac{z}{A}$であることがわかったので、Wは純虚数であることがわかり、OAとOBすなわち$l$ と $m$ が直交することが示せましたとさ！ってなりますが、面倒ですね。座標かベクトルで解いたほうが速いと思います。 一般的な解法としてはWの偏角を調べるのですが、この問題では無理そうです。 （２）はもう複素数なんかからおさらばして、たんなる図形の角度の問題として解けます。βを表す点をDとします。座標平面上に単位円を書いて、αの偏角は３０°、βの偏角はθ。四角形DOBCは平行四辺形だし、求める角は図中であれこれやると$\dfrac{13}{12}\pi-\dfrac{\theta}{2}$ と求まります！ （３）は$\dfrac{13}{12}\pi-\dfrac{\theta}{2}$ の範囲を調べれば、そのなかでのコサインの値の範囲はわかります。と言いたいのですが、結果として$\dfrac{\pi}{12}$ の整数倍のコサインを求めなくてはならなくなります。これは $\dfrac{\pi}{3}$ や $\dfrac{\pi}{4}$ を使ってあらわしてから、加法定理で展開して $\dfrac{\pi}{3}$ や $\dfrac{\pi}{4}$ のサイン、コサインから値を求めるという、いや～なおまけまでついています。 方針はこうなので、あとは計算をするのみ。もっとも私も計算間違いは得意なので、もし途中の数値に間違いがあったらしえてください。 そもそも解答は持っていないのですか？解答のない問題をやってもしょうがないかとも思いますよ。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。 ====================================== 追記02/01　18:20～ じゃ、がんばって書いてみます。 $W=\dfrac{Z}{A}=\dfrac{-\alpha \overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta}{A}$ までいったら、 $\overline{W}=\dfrac{\overline{-\alpha \overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta}}{\overline{A}}$ $=\dfrac{-\overline{\alpha}\beta+\alpha\overline{\beta}}{A}$ $=\dfrac{\alpha\overline{\beta}-\overline{\alpha}\beta}{A}$ $=\dfrac{-Z}{A}=-\dfrac{Z}{A}=-W$ よって、Wの共役複素数はーWなので、これはWが純虚数であることを示しています。 これで大丈夫ですか？