面積・体積の変化率

[問題]球形のゴム風船があり、半径が毎秒0.5cmの割合で伸びるように空気を入れる。半径0cmからふくらむとして、半径が5cmになった時のこの風船の表面積の、時間に対する変化率(cm^2/s)を求めよ。 [模範解答]風船がふくらみ始めてからt秒後の風船の半径をrcm、表面積をScm^2とすると r=0.5t・・・① S=4πr^2=4π(0.5t)^2=πt^2 よって　ds/dt=π(t^2)'=2πt r=5のとき①から　5=0.5t したがって　t=10 ゆえに、t=10におけるSの変化率は2π・10=20π(cm^2/s) [自分の回答] 変化率を求めるので、表面積の変化は半径が0cm→5cmに10秒かけて増えていく。 だから、0cm^2→4π(5)^2=100π 時間の変化は0s→10s 変化率=100π-0π/10s-0s=10π [質問] どこが間違っているかご指摘いただきたいです。 半径0cmから膨らんだとしても表面積が0πではないから100π-0πのところがおかしそう。なら0cmの時の表面積はいくつになるんだ？とかそもそも微分自体の理解があやふやなんだろうけれど、どこが理解できていないかが自覚できていません。 調べてみたら変化率＝微分係数＝瞬間の変化のようなものが出てきて、それっぽい解説は何となく言ってることはわかるのですが、でもなんで今回の[自分の回答]が間違えているのか自らが指摘できない状態です。助けてくださいお願いします。

加井 大介さん、こんにちは。お久しぶりですね！ さて、ここでいう変化率は「平均変化率」ではなく「瞬間変化率」です。 「半径が５ｃｍになったときの（なった瞬間）」という言葉からわかります。 あなたは「スタートしてから５ｃｍになるまでの間の平均変化率」を計算しています。 「速度」という言葉も同様で、ｔ＝６の時の速度と言われたらそれは瞬間速度のことで、それは道のりの微分係数で求まります。 この問題も、表面積をｔの関数として求め、時間ｔで微分すると瞬間速度を表す導関数になるので、あとはｔ＝１０を代入しています。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、まえのようにコメント欄になにか返事をお願いしますね。