二次関数の応用　式変形

あの矢印の処理で、yを処理できる理由の理解が曖昧です。 適当なyを取ればよいから　f(x)<g(x)を調べればよい、ということですよね？

Sawakoさん、こんにちは。 ∀ｘ∃ｙなのだから、当然その下のｙを省いた不等式は任意のｘで成り立っているはずですよね。 多分あなたの考えも同じなのかと思います。 これで大丈夫ですか？

$A \iff B$ の定義は、$(A \implies B)$ かつ $(A \impliedby B)$ です。そのため、青矢印の変形をするにあたって示すべきことは、$(\exists y : f(x) < y < g(x)) \implies f(x) < g(x)$ および $(\exists y : f(x) < y < g(x)) \impliedby f(x) < g(x)$ です。 ($\implies$) の証明: $f(x) < y < g(x)$ を満たすように実数 $y$ をとります。すると、$f(x) < y < g(x)$ より $f(x) < g(x)$ です。証明できました。高校数学では、「任意の実数 $a, b, c$ について $a < b < c$ ならば $a < c$」は証明することなく用いてよいという扱いになっています。 ($\impliedby$) の証明: ある条件を満たす実数の存在を示すには、そのような実数を1つ見つければ十分です。$y = (f(x) + g(x))/2$ とおきます。$y - f(x) = (g(x) - f(x)) / 2 > 0$ より $f(x) < y$ です。同様に、$g(x) - y = (g(x) - f(x)) / 2 > 0$ より $y < g(x)$ です。よって $f(x) < y < g(x)$ を満たす実数 $y$ は存在します。証明できました。 これらの証明が、青矢印の変形が正しい理由です。