数列 大学受験範囲

(3)以降が不明です 解説お願いします。 模範解答 2 1 -1 2 2 3 2048 45 2 8 3 512 5 14 6 7

びー ずさん、こんばんは。初めての方ですね。よろしく。 回答が遅くなりゴメンナサイ。（４）までですが… （３） $a_n=\dfrac{2^n(n-1)}{n(n+1)}$ の $\dfrac{n-1}{n(n+1)}$の部分を部分分数分解します。そして$2^n$ をかけて整理すると $a_n=\dfrac{2^{n+1}}{n+1}-\dfrac{2^n}{n}$ となります、 $S_1=a_1=2,S_2=a_1+a_2=2+\dfrac{2^3}{3}-\dfrac{2^2}{2}=\dfrac{8}{3}$ $S_n$をいくつかまで書いてみれば、途中に打ち消しあいが生じ、残るのは$\dfrac{2^{n+1}}{n+1}$ だけです。 だから、$S_9=\dfrac{2^{11}}{10}=\dfrac{512}{5}$ となりますね。 （４） $\dfrac{2^{n+1}}{n+1}>2023$ ですが、2023が2024=2¹¹に近いので、 $\dfrac{2^{n+1}}{n+1}>2^{11}$ を調べればいいでしょう。 すると $2^{n-10}>n+1$ で、あとは適当に調べていくとn=13では８＜１４でだめで、n=14になると１６＞１５となり成立します。よってn=14。 （５）はもうダメです。考えてください。わかったら書き足しますが。 (3)(4)はこれで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。会話型を目指しています（笑）。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記　02/09　10:33～ （５）です。できましたので追記しますよ。 $S_n=\dfrac{2^{n+1}}{n+1}$ ですから、 $\dfrac{2^{n+1}}{n+1}>10^{2023}$ 両辺の対数をとると $(n+1)\log_{10}2-\log_{10}(n+1)>2023$ 問題なのは$\log_{10}(n+1)$ の値がどのくらいなのかです。 でも問題にｎは4桁の数と書いてあるので、 $1001\leqq n+1<10001$ $\log_{10}1000<\log_{10}1001\leqq \log_{10}(n+1)<\log_{10} 10000<\log_{10} 10001$ よって$ \log_{10}(n+1)=3+\alpha$ と書けます（０＜α＜１）。 $(n+1)\log_{10}2-(3+\alpha)>2023$ $(n+1)\log_{10}2>2023+(3+\alpha)$ $n+1>\dfrac{2026+\alpha}{0.3010}=6730 . \cdots$ $n>\dfrac{2026+\alpha}{0.3010}=6729. \cdots$ よって、千の位は６、百の位は７。 これでどうでしょうか？ 解答はお持ちではないのですか？ わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。 ===================================== 追追記　02/09　15:50～ 問題に最初に与えられた式にn=1を代入するとシグマのところは結局1個だけで、 $2^{-1}\cdot1\cdot2a_1=\frac{1}{2}1\cdot 0+2=2$ より$a_1=2$ ←ア 与えられた式は $\sum_{k=1}^n b_n$ ということで、 ｎ≧２のとき、初めの $\sum_{k=1}^n b_n=\dfrac{1}{2}n(n-1)+2$の式から $\sum_{k=1}^{n-1} b_n=\dfrac{1}{2}(n-1)(n-2)+2$ を引けば 左辺は $b_n$ 、右辺は$n-1$ になります。←イ、ウ、エ これで大丈夫ですか？ さっきは変換がうまくいかないで読めなかったでしょ？ うまく変換できるように書き換えたので、前のところも読んでくださいね。