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2つのサイコロの目をm, nとし、複素数平面上の3点0,z^m, z^n, が正三角形となる確率
写真の問題で、自分はl z^n − z^m l＝1になる関係から答えを求めようと思ったのですが、途中で躓いてしまいました（写真の赤字の解法）。この方針でこの問題を解くことはできるのでしょうか。
解答ではz^mがz^nを±π/3回転したものであると言う関係を用いて求めていました。
回答
写真の赤字の方針でも、解くことはできます。複素数 $a+ib$ ($a, b$ は実数) の絶対値 $|a+ib|$ の定義は、$|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}$ です。そのため、
$$|z^n-z^m| = \sqrt{\biggl \lbrace -2 \sin \biggl ( \frac{\pi (n+m)}{12} \biggr ) \sin \biggl (\frac{\pi (n-m)}{12} \biggr ) \biggr \rbrace^2 + \biggl \lbrace 2 \cos \biggl ( \frac{\pi (n+m)}{12} \biggr ) \sin \biggl (\frac{\pi (n-m)}{12} \biggr ) \biggr \rbrace^2}$$
です。計算を進めると、単純な式になり、$|z^n-z^m|=1$ から $n, m$ の組を全て求めることができます。
ほんとだ！！ $sin{π(n−m)/12}＝1$となって答えが出ました！ 確かに$la+ibl＝√(a^2+b^2)$であることを理解していればこの解法でも解けますね。 極形式の場合は$cosθ+isinθ$の形にしないと絶対値は出ないという感覚になっていました。 ありがとうございます!!
訂正 sin{π(n−m)/12}＝1→4sin^2{π(n−m)/12}＝1
長田 健五さん、こんにちは。
私だったら、大変な計算はしないで、$z^1$ から $z^6$ まで偏角を考えて図示してみれば、正三角形になる組合せは(m,n)=(1,3)(2,4)(3,5)(4,6)およびその逆順しかないのは見て取れますから$\dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9}$ が求まります。
これが早いとおもいますが、いかがですか？
確かに！笑 その方が断然早く解けますね。 複素数の問題では、とりあえずまずは図示してみることにします！！ ありがとうございます！！
どういたしまして。楽な方がいいですよね。あとはそれを上手に記述してください。解答を書く時点で困るようなら、また言ってください。その時はノートを見せてくださいね。
ありがとうございます。 また困ったことがあったら質問させていただきます。
すいません！ nとmの係数比較ができる形にしなければいけないのだということで自分の中で納得できました。 もし返答中でしたらごめんなさい！ もっと自分なりに考え切ってから質問するようにします！
nとmの係数比較ができる形にするのは方針の1つであって、そうしなければいけない理由はありません。