数学

この問題よく分からないので教えてください。

①y=f(x)とy=g(x)が最も近づく点を調べる。→f(x)-g(x)の最小値を調べる。 ②①で調べた点でどれだけaを大きくできるか調べる。 (1)$h(x)=f(x)-g(x) (x\gt0)$とおくと、 $$h'(x) =\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{a}{x}\\ =\dfrac{\sqrt{x}-2a}{2x}(x\gt0)$$ $x\gt0$より、$2x\gt0,\sqrt{x}\gt0$なので、 $a\lt0$のとき、$\sqrt{x}-2a\gt0$ よって$x\gt0$における増減は $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0) & \cdots & (+\infty) \\ \hline h'(x) & & + & \\ \hline h(x) & (-\infty) & \nearrow & (+\infty)\\ \end{array} $$ $h(x)$は最小値を持たない。 $a\gt0$のとき、グラフ１(画像)より増減 $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (0) & \cdots & (4a^2) & \cdots & (+\infty) \\ \hline h'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline h(x) & (+\infty) & \searrow & h(4a^2) & \nearrow & (+\infty)\\ \end{array} $$ このときh(x)の最小値は$h(4a^2)=3a-a\log{4a^2}$ $f(x)-g(x)$の最小値が0以上であれば、$x\gt0$で$f(x)-g(x)\geqq0$すなわち$f(x)\geqq(x)$が言 えるので, $m(a)=h(4a^2)=3a-a\log{4a^2}(a\gt0)$とおくと $$m'(a) =3-\log{4a^2}-2\\ =1-\log{4a^2}(a\gt0)$$ よってグラフ2より$a\gt0$における増減は $$ \begin{array}{c|ccccc} a & (0) & \cdots & \frac{\sqrt{e}}{2} & \cdots & (+\infty) \\ \hline m'(a) & & + & 0 & - & \\ \hline m(a) & (0) & \nearrow & \sqrt{e} & \searrow & (+\infty)\\ \end{array} $$ $y=m(a)$のグラフはグラフ3のようになる。 グラフより、$f(x)-g(x)$の最小値$m(a)$が0以上であるようなaの最大値は $$ a=\frac{e^\frac{3}{2}}{2} $$ (2)$a=\frac{e^\frac{3}{2}}{2}$のとき、$y=f(x),y=g(x)$のグラフはグラフ4のようになる。 グラフより求める体積は、 $ V=\pi\int_{0}^{e^3} {f(x)}^2 \ dx - \pi\int_{1}^{e^3} {g(x)}^2 \ dx \\ $ $ \int_{0}^{e^3} {f(x)}^2 \ dx\\ =\int_{0}^{e^3} (x + e^\frac{3}{2}\sqrt{x} + \frac{e^3}{4}x) \ dx\\ =\left[ \frac{x^2}{2} + e^\frac{3}{2}・\frac{2x^\frac{3}{2}}{3} + \frac{e^3}{4}・x\right]^{e^3}_{0}\\ =\frac{17}{12}e^6\\ $ $ \int_{1}^{e^3} {g(x)}^2 \ dx \\ =\int_{1}^{e^3} {\frac{e^3}{4}(\log{x})^2} \ dx\\ =\frac{e^3}{4}\int_{1}^{e^3} (x)'{(\log{x})^2} \ dx\\ =\frac{e^3}{4}\left[ x{(\log{x})^2} \right]^{e^3}_{1} -\frac{e^3}{4}\int_{1}^{e^3} x・\frac{1}{x}・2\log{x} \ dx\\ =\frac{9}{4}e^6 - \frac{e^3}{2}\int_{1}^{e^3} \log{x} \ dx\\ =\frac{9}{4}e^6 - \frac{e^3}{2}\left[ x\log{x} - x \right]^{e^3}_{1}\\ =\frac{9}{4}e^6 - (e^6 + \frac{e^3}{2})\\ =\frac{5}{4}e^6 - \frac{e^3}{2} $ 以上より $ V=\frac{17}{12}e^6\pi - (\frac{5}{4}e^6 - \frac{e^3}{2})\pi\\ =(\frac{e^6 }{6} + \frac{e^3}{2})\pi $ グラフ1~3は増減表の上から二段目の段の+-を判断するのに使いました。 (例えばy=h'(x)のグラフがx軸よりも上になるようなxの範囲で符号が+,グラフがx軸よりも下になるようなxの範囲で符号が-) やり方はあってるとは思いますが、計算についてはあっているかわからないので試してみてください。 $$\\$$