定積分と体積

1番下の行なんですが、limΣS(x)〜までは分かるのですが、イコールの後の部分で なぜインテグラルが出てくるのかが分かりません。よろしくお願いします

しみ りつさん、こんにちは。 あれ？教科書の２４５ページに、区分求積法で極限を取ると定積分になる、ということが書いてありませんか？ そもそも「区分求積法による定積分の定義」という意味合いで、「定義」より積分が出てきます。 そこで面積を求める時に、同じようにシグマの極限が定積分になったでしょ？それと同じです。 これで大丈夫ですか？ 大丈夫じゃないか。 説明になってないものな。 まずは２４５ページの前後をよく読んでください。 そのなかで引っかかることがあれば、教科書の写真をアップしして、ここがわからんと言ってください。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記　2/20　20:30～ コメント拝見しました。２回もすみませんなんて書いてるけど、すまないなんてことはないですよ。 面積の場合がわかっているのなら大丈夫です。 面積の場合で言うと、たとえばｘがａからｂまでのグラフy=f(x)とｘ軸とで囲まれた図形の面積は $\int _a^b f(x)dx$ で表わされますが、それって区分求積法では細～い長方形の面積の合計（のｎ→∞のときの極限）とも考えられたのでしたよね。逆に言えば細～い長方形の面積の合計（のｎ→∞のときの極限）は、f(x)とⅹ軸とにはさまれた部分の面積で、$\int _a^b f(x) dx$ で求まる、ということです。 体積も同じで、ｘがａからｂまでの範囲の薄～い板の体積の合計が立体の体積になりますよね。断面積がS(x)ですから、それってy=S(x)という関数のグラフを書いたときのｘがａからｂまでのグラフS(x)とｘ軸とで囲まれた面積といっしょです。わかりますか？ 定積分を学習するときには、面積を表す関数をS(x)として、それを微分するとf(x)になるから、逆に面積を求めたかったらf(x)を定積分すればいいというふうに習ったかもしれませんが、本来の定積分ていうのは、細かい、薄い、小さなものに巾をかけたものを足すということなんです。これを式にしたのが、大事な式 $$\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^n \dfrac{a-b}{n}f(a+\dfrac{k(b-a)}{n})=\int_a^b f(x) dx$$ です。ま、教科書によって多少書き方や記号が違いますが、幅が $ \dfrac{a-b}{n}$ です。Δⅹと書く場合もあります。 ａからｂまでをｎ等分して、そのｋ番目の点のｘ座標が$a+\dfrac{k(b-a)}{n}$ または $a+k\varDelta x$　です。 この時のｙの値に巾 $ \dfrac{a-b}{n}$ を書けたのが長方形の面積。これが積分の式ではｙがf(x)、幅がdxになっています。そしてシグマがインテグラルになりました。f(x)dxっていうのは長方形の面積に意味なんです。インテグラルはシグマと同じように「ずら～と足していく」という意味です。 体積の場合は、断面積に厚さをかけて小さい体積を出して、それをずーっと足せば体積が求まる、それは定積分すればいい、ということなんですが。 ごめん、かえってわかりにくくしちゃったかもしれませんね。 やはり、教科書をはやく買って、読み込んだ方がいいですね。