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自然数であることの証明
問題を解いてみたら、解説は全く違うことをしてました。
私は数学的帰納法で証明したんですが、解説は二項定理で展開して直接計算してました。
私の解き方でも正しいでしょうか？
1つ前と2つ前を仮定する数学的帰納法に慣れていないので、この記述でよいか不安です。
ご回答いただけるとありがたいです。
回答
Laithさん、こんにちは。
流れとしては、ほとんど問題はないと思います。よく書けていますね。
以下、気になったことを書きます（気を悪くしないでね）。
①[i]、[ii]で、簡単に＝２とか＝２４とか書いては証明になりません。ちゃんと
$a_1=(1+\sqrt{11})^1+(1-\sqrt{11})^1=2$
$a_2=(1+\sqrt{11})^2+(1-\sqrt{11})^2=1+2\sqrt{11}+11+1-2\sqrt{11}+11=24$
と書くべきです。特に $a_2$ については！
②[iii]のところではｋ≧１を書いておいた方がいいです。
こんなところでしょうか。
いい解答だと思いますよ。
これで大丈夫ですか？会話型を目指しています（笑）。コメント欄にわかったとか、なにか返事を書いてください。よろしく。
ご回答ありがとうございます。 a1とa2は計算過程を細かく書いたほうがいいんですね。ｋ≧１についてなんですが、書いた方がいい理由はなんでしょうか？式変形するときにｋ≧１を使っていないので、なくてもいいのかなと思いました。
コメント、ありがとうございます。「a1とa2は計算過程を細かく書いたほうがいい」というのは、計算過程というより証明という意味です。[i]、[ii]も証明です。$a_1,a_2$ がともに整数であることの証明部分ですからね。計算を書くことによって証明されるのです。 k≧１を書こう、というのは、[iii]を[i][ii]につなげるためです。万が一（ふつうはないですが）ｋ≧５からしか[iii]の証明の論理が使えないとすれば、[i][ii]につながらず、数学的帰納法のドミノ倒しがうまくいきませんよ。 細かいことなので、なくても減点されないかもしれませんが、論理的に完璧に書くなら必要なことです。 これでどうですか？
なるほど！だとしたらk≧１だけでなくkが自然数であることも書かないと[i][ii]につながらないので、「自然数kについてak,ak+1が自然数であると仮定すると」みたいに書いたほうがいいということでしょうか？このままではkが何かを書いていないのでkが自然数とは限らない実数と解釈されてしまうのかなと思いました。
あ、そうですね！1本取られました。