複素数平面、整数

この問題についてなのですが、整式に対して複素数平面を導入するという方式を取ったのですが、うまくいきません。何故このやり方だとダメなのでしょうか。 また、このような問題に対してxに虚数を含む複素数を代入しても良いのでしょうか。

5E31茂木 音弥 さん、こんばんは。 数学的には何の問題もないと思うです。このやり方でできます。ただ、初めのところで間違ってしまっています、ざんねん。 10行目、ｘに代入した式の左辺はｎ乗ではなく、n+1乗です。また、±のまま代入しないで、＋の方を代入するだけでいいです。 あとは、同じやり方で解いていけば$a_n=\cdots,b_n=\cdots$ になるので、そのあとはｎによる場合分けなんかしないで、$a_{n+1}=$ とやって式を作り、$\dfrac{n}{3}\pi+\dfrac{2}{3}\pi$ と分けて加法定理で計算して、また別に $a_n+b_n$ を計算すれば等しくなり、初めの等式は証明できます。また $b_{n+1}=$ を加法定理で分解して計算を進めれば自然に $a_n$ が出てくるはずだと思って計算しているのですが、まだうまくいっていません。とりあえず、mod6を使わずに上の方針でやってみてください。私ももう少し計算を確認してみます。 そういうわけで、まだ完全な回答ができません。もうしばらくお待ちください。 追記22:23 $a_{n+1}=a_n+b_n$ は示せるのですが、$b_{n+1}=-a_n$ になっちゃうんですよね。もう少し考えてみます。明日になりますが、お許しを。 計算量が多くて、やはりいい解法とは言えなさそうです（汗） 追記！！22:45 大ミスを発見！ ｘ²－ｘ＋１ではないよ！！ ｘ²－ｘー１だよ！！ これだとｘ²－ｘー１＝０」の解は実数なので、複素数は使えないね。残念。 考え方は間違っていません。もし問題がｘ²－ｘ＋１なら、複素数を代入して実部虚部の比較でOKです。 （１）の問題は $a_{n+1}=a_n+b_n,b_{n+1}=-a_n$ を示すことになりますね。 一応解決！けっこう疲れましたぞ。