極限について

lim$x \to 0$ $a\sqrt{x+4}+b\over x$=1　aとbは定数です． これって分母の次数と分子の次数が異なるのでaとｂをどう設定しても1にならなくないですか？ 一応回答では両辺にxをかけて分子=0として回答していますがどうなんでしょうか 追記 回答ありがとうございます． 画像追記しました． 回答は口頭でしか得られていないのでなんともですが， lim$x \to 0$ $x=0$だからlim$x \to 0$ $a\sqrt{x+4}+b=0$って話でした． よって$b=^2a$として元の式に代入してみたいな感じです．

ʕ•ع•ʔ sirokumaさん、おはようございます。初めての方ですね。よろしく。 はい、あなたの質問文と式を見る限り、１にはなりそうもないですよね。 このような質問の時は、その元の問題（できるだけ写真で）と、解答もアップしてください。 思わぬ見落としがあったりするので、一緒に考えましょう。考える資料がこちらにないと、なぜそんなことになっているのかわかりません。 質問の編集ボタンで、質問文も変えられるし、写真も新たにアップできます。 お待ちしています。

注意すべき箇所が３つあるので順に説明します。 1. 「分子の次数」という言葉を使っていますが、この問題の場合は安易に分子の次数を考えることはできません。次数が $0$ でない整式に対してのみ定義された言葉だからです。$a\sqrt{x+4}+b$ が $0$ でない整式であるのは $a=0$ かつ $b \neq 0$ のときのみです。そのため、分子の次数を議論に持ち出すためには、事前に $a=0$ かつ $b \neq 0$ を断っておく必要があり、($a=0$ かつ $b \neq 0$)でない場合と分けて考える必要があります。しかし、この問題の場合は、分子の次数を考えても解くことができません。その理由を (2.) で説明しています。 2. 「分母と分子の次数が異なれば $1$ に収束しない」は誤りです。反例は $\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x+1}$ です。この式の分母 $x+1$ の次数は $1$ であり、分子 $x^2+2x+1$ の次数は $2$ です。しかし、$x \to 0$ のとき、$\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x+1} = \frac{(x+1)^2}{x+1}=x+1 \to 1$ です。極限は他の分野と比べて、直感的な議論が特に通用しない分野です。教科書に載っている基本的性質や、そこから導かれる定理に従って議論を進めることを徹底する必要があります。 3. くさぼうぼうさんもおっしゃっていますが、解答(と問題)を写真でアップロードしてください。「両辺に分母をかけて $x$ に $0$ を代入する(あるいは $x$ を限りなく $0$ に近付ける)」という操作が誤りだからです。反例は $\displaystyle \frac{x+1}{\frac{1}{x}}$ です。$x \to 0$ のとき、$\displaystyle \frac{x+1}{\frac{1}{x}} = x^2+x \to 0$ であるため、$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x+1}{\frac{1}{x}}=0$ です。ここで、$\displaystyle \frac{x+1}{\frac{1}{x}}=0$ の両辺に分母 $\displaystyle \frac{1}{x}$ をかけると、$x+1 = 0$ となり、両辺の $x$ に $0$ を代入すると、$1=0$ となってしまいます。この操作が誤っているため、あなたが解答を誤読している可能性が高いです。解答の意図を正確に説明するためには、解答を要約や省略がされていない原文のまま見せていただく必要があります。 $\textbf{\textsf{（追記: 2024年3月3日13:46）}}$ 質問の追記を見ました。「$\displaystyle \lim_{x \to 0} x = 0$ だから $\displaystyle \lim_{x \to 0} (a\sqrt{x+4}+b)=0$」は正しいですが、これは「両辺に分母の $x$ をかけて $x$ に $0$ を代入する」という操作によって得られたものではありません。この式は、 $$ \begin{align*} & \lim_{x \to 0} (a\sqrt{x+4}+b) \\ =& \lim_{x \to 0} \frac{a\sqrt{x+4}+b}{x} \cdot x \\ =& 1 \cdot 0 \ (\because \lim_{x \to 0} \frac{a\sqrt{x+4}+b}{x}=1 \ かつ \ \lim_{x \to 0} x = 0) \\ =& 0 \end{align*} $$ という式変形によって得られます。$2$ 行目から $3$ 行目への式変形では、「$x \to a$ において $f(x), \ g(x)$ がともに収束し、その極限値が $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=\alpha, \ \lim_{x \to a} g(x)=\beta$ であるとき、 $$ \lim_{x \to a} f(x)g(x) = \alpha \beta $$ である。」という極限の基本的性質を用いています。この性質は教科書に載っているため、用いても問題ありません。