高次方程式

こんにちは 演習問題30の（2）についてです。この問題の解答を見たところ、解の両辺を二乗したもので与式をわっているようなのですが、そんなことしていいんですか？このような解法を見た事がないのであまり納得がいっていません。 　 また、自分なりに少し調べて別の解法で解いてみたのですが、3枚目の写真は変なところありますか？もしあるなら教えて頂きたいです。 どちらの解法にしろあまりスッキリしない解き方なので、詳しく教えて下さると助かります。

どぶん 。さん、こんにちは。 先にあなたの解法を拝見しましたが、まったく問題ないです。 次に、模範解答のほうですが。たしかに説明不足ですね。 これは１＋ｉを解に持つ2次方程式を作っているのです。割るとかなんとかではありません。 １＋ｉを解に持つ２次方程式の作り方はいくつもありますが、この方法もその一つです。 解を２乗しているのではないですよね。移項して右辺を純虚数にした式を２乗しています。このおかげで虚数単位ｉがなくなって実数係数の２次方程式が得られます。(注） あるいは、もう一つの解が１－ｉだから、２次方程式の解と係数の関係を逆に使って2次方程式を作ってもいいです。 なぜこんなものを作るかというと、元の3次方程式を因数分解すればｘ＝αという実数解を作る部分が（ｘ－α）という因数で、もう一つの因数は2次式で、しかも１＋ｉを解に持つはずだから、それがｘ²－２ｘ＋２なはず。だからもとの3次式はｘ²－２ｘ＋２で割り切れるはずだ、という考え方です。実際に割ってみると割り切れて商がでます。それで因数分解できました。 この解答は3次方程式の解と係数の関係を使わないでやろうという方針なのでしょう。3次方程式の解と係数の関係は教科書に必ずしも出てくるとは限らないから。でも、あなたの解法のように使った方が楽です。 （注）ｘ＝１＋ｉのとき、３ｘ³－２０ｘ²＋７ｘ＋７の値を求めよ、みたいな問題を解くときにはどうしますか？ 直接代入する？嫌ですよね。普通はｘ－１＝ｉにして両辺を2乗して整理するとｘ²－２ｘ＋２＝０がえられ、ｘ²－２ｘ＋２＝０にｘ＝１＋ｉを代入すれば値は０になります。よって３ｘ³－２０ｘ²＋７ｘ＋７をｘ²－２ｘ＋２で割って、商と余りを出し、 ３ｘ³－２０ｘ²＋７ｘ＋７＝（３ｘ－１４)(ｘ²－２ｘ＋２）＋（－２７ｘ＋２１）（計算間違ってたらゴメン）としておいて、ｘ＝１＋ｉを代入すれば、計算するのは－２７（１＋ｉ）＋２１＝－６－２７ｉで済みます。模範解答で使った手はこのような時に使う方法です。 これでどうでしょうか？ わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。