積分

この問題をy=-x+kとの交点を考えてといたのですが何故うまくいかないのかおしえていただきたく存じます。

茂木 音弥さん、こんにちは。 ざっと見て、決定的に違うのは、体積を求める積分の最後がdkになっていますが、 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ dkではないかなぁ。 積分の最後につくものは厚みとか巾です。ｋの変化がdkだったら、回転する円盤の厚みは$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ dkになります。 定積分で回転体積を求めるのは、円の面積×厚みで円板状の部分の体積を出して、それをずら～っと足して求めます（区分求積法の考えと同じ）。その時の厚み（薄い円柱の高さ）はdk（ｋの変化量）ではなく、その $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ になります。 あと、①式の後半にも、インテグラルの前にあったπ/2がかかりますよ！ 最後の方でSに置き換えて計算しているところの、$\dfrac{dk}{dS}=\dfrac{S}{2}$ なので、 $dk=\dfrac{SdS}{2}$ です。Sが1個抜けてた！ 計算は大変ですが、これらを直せば正解にたどり着きましたよ！ 整理して積分する一歩手前は $$V=\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}} \int _0^2 \big(k^2+6k+2-2(k+1)\sqrt{1+4k}\big)dk$$ という式になります。 がんばってください。 模範解答のような考えは、普通は浮かびませんよね。 あなたのように地道にやっていくのが定石です。 どこが難しいかというと、ｋについての積分ですが、最後がdkではなく $\dfrac{dk}{\sqrt{2}}$になるところです。 dkはｋの微小な長さ、でも円盤の厚みは $\dfrac{dk}{\sqrt{2}}$になるという、そこをよく考えてください。 そもそも積分で体積を求める時は断面積S(x)dxを ∫ しますが、最後のdxとは厚みをかけているという意味なのです。 ⅹ軸、y軸以外の直線で回転するのは結構ハイレベルになります。