円

右側の紙で示したような同値変形は正しいでしょうか。

5E31茂木 音弥さん、こんにちは。 それは模範解答が使っていることですよね。 正しいと思いますが、どんな疑問を抱えていますか？

右側の紙における、同値記号より前の行は、$①$ と $②$ の連立方程式を考えているということでしょうか。そうであれば、同値変形を考える前に、ここを見直すべきです。 2つの図形を表す方程式の連立方程式は、それら図形の共有点を表す方程式です。そのため、「$①$ と $②$ の連立方程式」では、表す方程式が2つの円の共有点になってしまいます。今回の問題は、$①$ と $②$ の2つの円の共有点を扱っているわけではありません。何を扱っているのかというと、$①$ と $②$ がともに同じ円を表す方程式という状況を扱っています。これは、言い換えると $①$ と $②$ が同値であるという状況です。(あるいは、集合の考え方が身についている場合は、図形を条件を満たす点の集まりと捉え、$\{ (X,Y) \mid ①\}$ と $\{ (X, Y) \mid ②\}$ が集合として等しいと考えてもよいです。) $①$ と $②$ が同値であるということから、$\displaystyle \frac{ma+5}{1+m}=1, \ \frac{mb+4}{1+m}=-1, \ \frac{16}{(1+m)^2}=1$ ( $③$ とする)が導き出されるため、「($①$ と $②$ が同値であること) と ③ は同値である。」が正確な記述です。記号で書くと、$(① \iff ②) \iff ③$ です。ただ、解答を記述する上では、解答全体が日本語の文章として理解できるように書くべきであるため、そこは注意してください(結局のところ、模範解答の記述が参考になります)。