図形と方程式

自分の解答のどこに不備があるかがわかりません。赤線の所が棄却できれば良いのですが、どこが変なのでしょうか。

5E31茂木 音弥さん、こんばんは。 そもそもDという図形がわかるのですから、なぜこのようなやり方をするのかは正直ちょっと変に感じます。 図形と目を頼った方がはるかに楽にできますよ。 さて、そういうわけで、あなたの解法を最後までやってみていないのですが、気が付いたことを書きますね。 ∃ｘ∊Rと書いていますが、∃ｘ∊｛ｘ｜－１≦ｘ≦２｝ですよね。だから、⑤も－１≦ｘ≦２の中での最小値だとしたら、必ずしも頂点のｙ座標ではないと思います。軸の位置と｛ｘ｜－１≦ｘ≦２｝との位置関係によっては頂点以外の場所が最小値になることもあるんじゃないかなぁ。だから ⑤⇔…という部分が怪しいと思うんだけど。 ぜひグラフの利用を考えてください！

$$ \exists x \in \R . \begin{equation*} \begin{cases} (m-1)x \leqq 3+3m \\ x^2-mx+3m+1 \leqq 0 \end{cases} \end{equation*} $$ を論理式 $A$、 $$ \begin{equation*} \begin{cases} (m-1)x の最小値 \leqq 3+3m \\ x^2-mx+3m+1 の最小値 \leqq 0 \end{cases} \end{equation*} $$ を論理式 $B$ とします。同値変形によって $A$ を導出したところまでは正しいですが、そこから $B$ を導出するのは誤りです。$A$ ならば $B$ は成り立ちますが、$B$ ならば $A$ が成り立ちません。論理式 $A$ の意味は、「二つの式 $(m-1)x \leqq 3+3m$ と $x^2-mx+3m+1 \leqq 0$ を同時に満たす $x$ が存在すること」であって、「$(m-1)x \leqq 3+3m$ を満たす $x$ が存在し、かつ $x^2-mx+3m+1 \leqq 0$ を満たす $x$ も存在すること」ではありません。前者では二つの式を同時に満たすことを要求している一方、後者では、それぞれの式を満たす $x$ が一致している必要がないところが違いです。仮に後者の意味を持つような論理式があった場合は、同値変形によって論理式 $B$ を得ることができますが、今回得られた論理式 $A$ は前者の意味を持つため、そのような変形はできません。例として、$m=14$ を考えると、$(m-1)x \leqq 3+3m$ を満たす $x$ は $x \leqq 45/13$ であり、$x^2-mx+3m+1 \leqq 0$ を満たす $x$ は $-\sqrt 6+7 \leqq x \leqq \sqrt 6+7$ です。それぞれの式を満たす $x$ は存在しますが、これらの共通部分が存在しないため、同時に満たす $x$ は存在しません。前者の条件を満たさないのに、後者を条件を満たしてしまっているため、本来であれば除外しなければならない $m=14$ を含めてしまっています。