軌跡

こんばんは 軌跡についていまいち理解出来ていません。 写真の（3）のような問題が出たとき、どのような思考回路で解いてますか？現状、使えそうな式と値を適当に代入してみて、答えが出たらラッキーぐらいの感覚でしか解けていません。 （3）においては、点Mの軌跡だからMに関する式を使って解いていくって感じですか？ また、写真の④と問題文中のy=mxは別物ですか？④の式は点Mの座標を自分で勝手にx、yと定めて出てきた式ですよね？ 曖昧な質問で申し訳ないのですが、お答え頂けるととても助かります。

私の場合は、「媒介変数表示が既知 → $x$ と $y$ の関係式を知りたい → 媒介変数を消去したい → $m$ について整理し代入」のような考察によって解きます。 (2) で点 $M$ の座標を $m$ で表すことができました。この状況は、点 $M$ の軌跡を $m$ で媒介変数表示したらどうなるかが分かっているという状況です。媒介変数表示された図形が、どのような図形であるかを調べるためには、$x$ と $y$ の関係式が分かればよいです。そこで、$x$ と $y$ の関係式を導くために、媒介変数を消去します。媒介変数 $m$ を消去するには、$m$ を $x$ で表し、$y=(mの式)$ の $m$ に代入すればよいです($m$ を $y$ で表し $x=(mの式)$ の $m$ に代入する方針が有効な場合もありますが、今回の問題は、$x$ が $m$ の一次式であるため、$m$ を $x$ で表す方針が自然です)。このようにして得られる $x$ と $y$ の関係式 $y=x(2x-2)$ より(範囲に注意すると)、点 $M$ が描く軌跡が分かります。 $④$ が問題文中の式 $y=mx$ と一致したことは偶然です。仮に、問題文中の $y=mx$ が、より一般の(放物線との交点が二つとなる)式 $y=f(x)$ であったと考えると、$P(\alpha,f(\alpha)), Q(\beta,f(\beta))$ となるため、$M(x,y)$ の座標は、$\displaystyle x=\frac{\alpha+\beta}{2}, y=\frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2}$ です。ここから、$y=f(x)$ を導くことはできません。$④$ が問題文中の式と一致したことは、直線が持つ特殊な性質によるものであって、一般の曲線で常に成り立つ関係式ではありません。 これで、あなたの疑問に答えられているでしょうか？