数学教えてください

10進法で表された2の2022乗を4進法で表すと、その桁数は何桁ですか？

$2^{1} \space _{(10)} = 10_{(2)}$、$2^{2} \space _{(10)} = 100_{(2)}$、$2^{3} \space _{(10)} = 1000_{(2)}$、...なので、$2^{2022} \space _{(10)}$は2進法で$1000...000$（2023桁）です。 2進法から4進法に変換するときは例えば以下のように2桁づつ区切ってそれぞれの区画を変換するとできます。 $$ \begin{aligned} 1101101_{(2)} &= 1231_{(4)} \\ （ 1 | 10 | 11 | 01 &\rightarrow 1 | 2 | 3 | 1 ） \end{aligned} $$ なぜなら、例えば2進法の11の部分が4進法で3になるのは、$1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 = (2 + 1) \times 2^2 = 3 \times 4^1$となるからです。 ちなみに2進法から8進法、16進法などに変換するときもそれぞれ3桁、4桁づつ区切る方法でできます。 従って、結局元の問題の答えは2023桁の半分（切り上げ）なので1012桁になります。