積分　三次関数と面積

こちらの問題の(3)が解けずにいます。 (1)は判別式を用いてa²-4b>0 b≠0 (2)は解と係数の関係で交点α、0、β を考えて積分しました。

れいさん、こんばんは。初めての方ですね。よろしく。 ここでは、ただ解答を書いて示すのではなく、なるべく会話しながら的確なアドバイスを目指しています。 他の方の質問も参考にしてみてください、 「解けずにいます」だから解答を書いてください、というのはあまり受けたくないのです。ここまではわかったが、この先で行き詰ったとか、具体的に聞いてほしいです。できればあなたがやったところまでのノートを写真でアップしてくれるのが一番いいのですが。 それと、解答がついているようですから、その解答のここがわからないのだという風に解答を示してくれるのも的確に答えられますね。 解答は答か略解しか書いてないのかな？ とにかくまずは方針を書きますので、考えてみてください。 ただ単に関数を定積分すると、ⅹ軸より上にある部分は面積が正、下にある部分は面積が負で計算されるので、ⅹ軸の上下にできた図形の面積が等しいときは、両方の範囲を通して積分すれば０になる、というのを使います。 $x(x^2+ax+b)=0$の解を0、α、β（ただしα＜β）とします。α、βは$x^2+ax+b=0$ の２実数解です。 (i)a>0のとき、α＜β＜０（これは大丈夫ですか？）なので、積分範囲はαから０で、f(x)の定積分の値は０ (ii)a=0はD>0を満たさないのでダメ (iii)a<0の時は０＜α＜βなので、積分範囲は０からβで、f(x)の定積分の値は０ これで、あとは計算問題になります。 いろいろなやり方がありそうですが、$f(x)=x(x-\alpha)(x-\beta)=x^3-(\alpha+\beta)x^2+\alpha \beta x$ として、上の(i)(ii)の積分を計算して、その結果が０だと置きます。結果は因数分解できて、$-\dfrac{1}{12}\alpha ^3(2\beta-\alpha),\dfrac{1}{12}\beta ^3(2\alpha-\beta)$ になります。これらが０であることから、a>0ではβ=2k、α＝ｋ(k>0)、a<0ではα=2k、β＝ｋ(k<0)となり、いずれからもa=3k、b=2k²が得られます。ｋを消去すればａとｂの関係式が得られます。 この方針でやってみてください。 なお、質問の際、正解がわかっているなら教えておいてください！ ぜひ、あなたがやったノートを写真でアップしてください。それをもとにさらに進めましょう。 ま、こんなやり方の質問箱なので、よろしく。 これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。会話型を目指しています。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメント、よろしく！ノートや解答の写真のアップも！答だけならそれも教えてくださいね。