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連続する自然数の和
n=2^m(2k+1)と表されるとき(m.kは自然数)
nは連続した2個以上の自然数で表される
ことを示せというTwitterで見た問題です。
自分でやってみたのですが、答えがなく、これで示せているのかどうかわかりません。もっと綺麗に示せる場合も可能なら
教えてもらえると嬉しいです。
回答
高校 数学さん、こんばんは。初めての方ですね。よろしく。
その場合分けがよくわかりませんが。不要なのでは？
まず、7行目を削除。
１０行目まではいいのでは。
１１行以降は、証明にとってはあまり意味がないと思います。
$a=2^m-k\leqq 0$ の場合をもう少し一般的に示さないといけないと思います。
１つの例では証明になりません。
$a=2^m-k＝0$ のときは $n=0+1+2+\cdots +2^{m+1}$ ですが、０を無視すれば連続自然数の和になります。
$a=2^m-k<0$ のときは$k=2^m+p$ として（ｐは自然数）、
$n=-p+(-p+1)+ \cdots +(-1)+0+1+2+\cdots+(p-1)+p+(p+1)+\cdots+( 2^{m+1}+p)$
$=(p+1)+\cdots +( 2^{m+1}+p)$ となり、2個以上の連続自然数の和で表わされた！
ま、もう少していねいに書くべきですが。微妙に間違えてずれているかもしれませんが、訂正してください。
これでどうでしょうか？
回答ありがとうございます。 場合分けは要らないのですね。 a<=0の時の一般的な示し方まで 教えてくださり本当にありがとう ございます。解決しました。
どういたしまして。それより、最初の変形はよく思いつきましたね!!感動しました。自分じゃそんな変形、思いつかないと思います。
申し訳ないのですが、この変形は2^m(2k+1)から1/2を出してきて、 そこからa+b=2^m+1と b-a+1=2k+1の連立方程式を解いて出てきたもので、逆から考えた結果でして、思いついたわけではないです。流石にこの変形は思いつかないですね、
な〜るほど。