正◯角形の作図

5-2例題2をやっているときに疑問に 思ったのですが、 なぜ、画像のような作図に なるのですか。 また、他の正◯角形を作図する時は どうすれば良いですか。

好香さん、こんにちは。 作図の説明を言葉でするのは、なかなか大変ですが、やってみますね。 まずは、どうやって作図するかではなく、円の中に正6角形ができた状態の方を考えて、「うまく作図できたら、どんなことが成り立っているのか？」を考えて、じゃ、それを成り立たせるような作図をしよう」という方向になります。 244ページの一番最初にあるように、もし正6角形が書けたとしたら、三角形が6個できますが、中心のあたりを観察すると、中心の周りの360°を6等分していますね（正6角形なのでゆがみはなく、できた6個の三角形は同じ形なはずなので）。∠AOB=３６０÷６＝６０°だということが分かります。ところでOAとOBの長さは、ともに半径なので等しいはずで、よって△OABはOA=OBである2等辺三角形だとわかります。中心のところの60°はわかっているので、ほかの角を調べてみると、2等辺三角形なので∠OAB=∠OBAだし、∠OAB＋∠OBA＋∠AOB=180°であることから、∠OAB=∠OBA=(180-60)÷２＝60°となります。あ！じゃぁ△OABは正三角形じゃないか！！ということは3つの辺の長さは等しいわけで、ABのながさも半径と等しいんだ！ ここまで大丈夫ですか？これからが作図です。AB=半径となるように作図します。 そこで、まず勝手な点Aを円周上に取り、AB=半径となるような円周上の点Bを探しましょう。それはコンパスを半径の長さに開いて、コンパスの針をAに置き、くるっとやって円と交わるところを見つければ、そこがBだとわかります。（同時にFもわかってしまいますがね）あとは同じように、長さが半径と同じになるような点を次々探していけば、初めに考えたような図（中心のところで360°が6等分されている）になるので、正6角形がえられました。めでたしめでたし！ これはわかりましたか？ さて、他の正多角形の作図は、一般にはできません。なんとかできるのは正4角形（正方形）と正5角形です。ほかにもできるのがあるようですが、かなり高度な数学を使わないとできません。中学数学（高校でも）では正3角形、正方形だけですね。正方形は「垂線の作図」ができればやれます。正5角形の作図に興味があれば、「正5角形　作図」で検索してみたらいいです。超メンドウですから、やらないほうがいいです(笑)。 疑問点があれば、コメント欄に書いてください。