極限における部分分数分解が使える時、使えない時

ご回答ありがとうございます。 ご回答を読ませていただき、自分はnを変数と勘違いをしておりかつ①の最後の項である1/n^2+n　を一般項と思い込んでいることがわかりました。追加で質問になってしまうのですが、なぜnが変数ではなく定数だと気づいたのでしょうか？n→∞というところから「∞まで代入する数字を大きくしていく」＝「代入するならnは変数なのでは？」と思ってしまいます。説明が下手ですみません。

なるほど。「定数だ」というのは、極限を取る前の段階で、ということです。もちろんｎの値を変えることはできますが、ｎをある値に定めたときに極限を取る前の式は意味があるのです。ｎが５のときは5項の和、ｎが１００の時は100項の和が考えられます。ｎを定めないことには、何の極限を取ればいいのか決まらないです。ｎが100万のとき、和がいくつ。ｎが1000億のとき、和がいくつ。 あれ、言葉で書いていると、なかなか説明も難しいですね。それより、極限を取るべき「ｎ個の数列の和」では、横に見ていけば変化しているのは＋１、＋２、＋３、…、＋ｋ、…＋(n-1)、＋ｎだけで、ｎの値は変化しないのです！ これで大丈夫ですか？説明が下手ですみません。さらに突っ込んでください！

ご返答ありがとうございます ①の場合n=1のときは1/n^2+1 n=2のときは1/n^2+1 + 1/n^2+2 というように項を一つずつ増やしていく。∞まで ということでしょうか？ もしそれが正しい認識だとしたら、なぜnはnのままなのでしょうか？ 例えば、n=1のとき1/1^2+1 n=2のとき1/2^2+1 + 1/2^2+2 といった具合に。

式を書く都合上、上の回答に追記しましたので読んでください。

度々のご返信感謝いたします。 上に書いていただいた式をみてかなり自分の認識を修正できそうです。 何度も読み返し、熟読させていただきますので、疑問点がもし残ったら、はっきりさせた後再投稿させていただくかもしれません。 よろしくお願いいたします。