漸化式

a1=1,an+1=3an+4nによって定められる数列(an)の一般項は？という過去の質問に a[1]=1,a[n+1]=3[an]+4n a[n+1]+2(n+1)+1=3{a[n]+2n+1} a[n]+2n+1={a[1]+2+1}3^(n-1) =4・3^(n-1) a[n]=-2n-1+4・3^(n-1) という回答がついていました。 多分n+1をnに変えたのだと思うのですが、a[n]はn=1にしています。こんな解き方していいんですかね？認識が間違っているようでしたらご教授ください。

zh akatさん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 過去の質問って、どこかのサイトに質問したっていうことですか？このサイトですか？ さて、あなたの質問がよくわからないのですが、「こんな解き方していいんですかね？」というのが質問なら「いいんです」としか答えようがありません。どういうところが「こんな解き方していいんですかね？」と感じるのか教えてください。その部分を解説しますよ。 いまあなたが書いたのはその回答のすべてではないですよね。その過去の回答を見ないことにはわかりませんが、質問文の2行目の最後に式をどうやって作るのかも書いてありました？ もし、それがなくて、うさんくさく感じているのなら、その変形を解説しますが。それとも全部の解説が必要ですか？（手間はなるべく少ないほうがうれしいのですが(笑)。） このサイトは会話型を目指しています。こんな調子でやっていきます。コメントにお返事いただくか、編集機能を使って質問文を書き直してくれるか、してください。待っています！ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記　03/29　18:50 コメント拝見しました。そこがこの解法の一番大事なところですね。 一般に $a_{n+1}=pa_n+(nの1次式)$ の形の漸化式の解法は定石が2通りありますので、覚えておくと楽です。 ①その回答は、公比が３の等比数列を作りたいなぁ、という気持ちからきています。 $a_{n+1}=pa_n+(nの1次式)$ を変形して、$a_{n+1}+(q(n+1)+r)=p(a_n+(qn+r))$ とできれは、 数列 $\{a_n+(qn+r)\}$ は公比ｐの等比数列になります。 では、 $a_{n+1}=3a_n+4n$ が$a_{n+1}+(q(n+1)+r)=3(a_n+(qn+r))$ となったとします。 これを展開して $a_{n+1}+(q(n+1)+r)=3a_n+3(qn+r)$ 整理すると $a_{n+1}=3a_n+2qn+(2r-q)$ これがもとの $a_{n+1}=3a_n+4n$ になるはずなので $2q=4,2r-q=0$ これよりｑ＝２、ｒ＝１が求まり、初めの漸化式は $a_{n+1}+(2(n+1)+1)=3(a_n+(2n+1))$ と変形できることが分かります。 これより数列 $\{a_n+2n+1\}$ は公比３、初項４の等比数列になり、その一般項が求められます。 あとはそれを$a_n=$ にすればおしまい。 ま、ちょっと大変です。 ②それとは違って、階差数列を作るという手もあるのです。 ｎをもう一つ上げた式から、初めの漸化式を引くと階差数列の漸化式になります。 $a_{n+2}=3a_{n+1}+4(n+1)$ から $a_{n+1}=3a_n+4n$ を引きます。すると $a_{n+2}-a_{n+1}=3(a_{n+1}-a_n)+4$ となり、後ろにあったｎがなくなります。階差数列を $b_n$ とすれば、その式は $b_{n+1}=3n_n+4$ という、普通の漸化式になって解けますね。あとはその階差数列をもとに数列 $\{a_n\}$ を求めます。 $a_2$ を求めておく必要があります。そこから $b_1$ もわかりますね。 どちらが楽かは、両方やってあなたが決めてください。ほかにも類題があるでしょうから、両方のやり方でやってみるといいです。類題がなければあげますので言ってください。 これで大丈夫ですか？これを読んだら、分かったとか、まだこの辺が解らないので説明してくれとか、コメントくださいね。 ==================================== 追記　03/29　21:10 コメント拝見しました。 では… 数列 $\{a_n+2n+1\}$ は公比３、初項４の等比数列ですから、その一般項は $a_n+2n+1=4\cdot 3^{n-1}$ これより $a_n=4\cdot 3^{n-1}-2n-1$ というだけですよ。 これで大丈夫ですか？