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空集合
回答
高三です。 自分の論理がおかしいのは理解できました、そこで空集合が部分集合になるのがわからなくて、下の証明の過程で#2の言ってる内容はわかるのですが、何故♯2が♯1に言い換えれて♯2でAはBの部分集合と言えるのか理解できないです。 2つの集合AとBに関して、 「Aの任意の要素はBの要素である」(#1) が成り立てば、AはBの部分集合です。 (#1)を言いかえると 「Aの要素でかつBの要素ではない要素は存在しない」(#2) となるので、(#2)が成り立てばAはBの部分集合です。 ゆえに、(#2)のAを空集合に置き替えると 「空集合の要素でかつBの要素ではない要素は存在しない」(#3) が成り立てば、空集合はBの部分集合です。 ところが「空集合の要素」は存在しないので、Bの要素かどうかは 関係無しに(#3)は成り立ちます。 したがって、空集合は(任意の)集合Bの部分集合です。Bが空集合で あっても成立します。
#1と#2は対偶ですよね。AがBの部分集合であることの定義 #1:あるxがAの要素ならば、xはBの要素である 対偶が #1 ':xがBの要素でないならば、xはAの要素ではない そして「ならば文:PならばQ」は「Pでないか、またはBである」とか、「Pかつ「Qでない」ことはない」のように言い換えられ(ならばの記号→の定義)、それが#2です。 #1と#2は内容的におなじことです。だから#2が成り立てば#1が成り立つことだし、#1は「AがBの部分集合です」ということなんだから「♯2でAはBの部分集合と言える」のですね。 これでは、あなたの質問からずれているかな? ま、しかし、その「証明」というものも、「どんな集合の部分集合にも空集合があるよ」という主張をむりやり言っているみたいで、「(#2)のAを空集合に置き替える」のが正当なのか(空集合になんか置き換えていいのか)は厳密ではないですね。 やはり、「空集合と自分自身も部分集合として認めよう!そうすると、あとの集合論の展開がらくだから。」というようなことで理解しておけばいいのかと思います。
なるほど、理解できました、pならばqの否定があったのを思い出しました。 最後に確認なのですが、 「空集合の要素でかつBの要素ではない要素は存在しない」(#3) が成り立てば、空集合はBの部分集合です。 ところが「空集合の要素」は存在しないので、Bの要素かどうかは 関係無しに(#3)は成り立ちます。 「ところが〜。」の部分で「要素が0個かつ要素が存在する」という形になるから当然そんな要素はないので、Bの要素関係なしに言えるという事ですか?