空集合

数一

kimu (id: 3033) （2024年3月31日18:10）

全ての集合に部分集合∅が存在する。これはA={1,2,3} B={x|実数}とした時にもAの集合にもBの集合にも要素を持たない集合∅というのが存在するから言えるのですか？

回答

くさぼうぼう : (id: 1236) （2024年3月31日19:13）

kimuさん、こんばんは。初めての方ですね。よろしく。「AにもBにも要素を持たない集合∅というのが存在するから＜全ての集合に部分集合∅が存在すると＞言える」という論理の流れはちょっとおかしいですね。あなたはA={1,2,3} やB={x|実数}の部分集合の一つにΦがあることは納得しているのでしょうか？空集合Φをどんな集合の部分集合にも入れるというのは、ま、「決め」です。その集合そのものも部分集合の中に含める、というのと対になっていて、それらの事柄は、今後の集合の学習に矛盾をきたさないように決めてあります。あ、あなたは何年生？そもそも小中高大、または一般の方でしょうか？質問するページに書いてあったと思いますが、それを教えてください。説明の仕方やレベルが異なりますので。さて、これで大丈夫ですか？これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。会話型を目指しています。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメント、よろしく。

kimu (id: 3033) （2024年3月31日20:19）

高三です。自分の論理がおかしいのは理解できました、そこで空集合が部分集合になるのがわからなくて、下の証明の過程で#2の言ってる内容はわかるのですが、何故♯2が♯1に言い換えれて♯2でAはBの部分集合と言えるのか理解できないです。 2つの集合AとBに関して、「Aの任意の要素はBの要素である」(#1) が成り立てば、AはBの部分集合です。 (#1)を言いかえると「Aの要素でかつBの要素ではない要素は存在しない」(#2) となるので、(#2)が成り立てばAはBの部分集合です。ゆえに、(#2)のAを空集合に置き替えると「空集合の要素でかつBの要素ではない要素は存在しない」(#3) が成り立てば、空集合はBの部分集合です。ところが「空集合の要素」は存在しないので、Bの要素かどうかは関係無しに(#3)は成り立ちます。したがって、空集合は(任意の)集合Bの部分集合です。Bが空集合であっても成立します。

くさぼうぼう : (id: 1236) （2024年3月31日22:28）

#1と#2は対偶ですよね。AがBの部分集合であることの定義 #1：あるｘがAの要素ならば、ｘはBの要素である対偶が #1 '：ｘがBの要素でないならば、ｘはAの要素ではないそして「ならば文：PならばQ」は「Pでないか、またはBである」とか、「Pかつ「Qでない」ことはない」のように言い換えられ（ならばの記号→の定義）、それが#2です。 #1と#2は内容的におなじことです。だから#2が成り立てば#1が成り立つことだし、#1は「AがBの部分集合です」ということなんだから「♯2でAはBの部分集合と言える」のですね。これでは、あなたの質問からずれているかな？ま、しかし、その「証明」というものも、「どんな集合の部分集合にも空集合があるよ」という主張をむりやり言っているみたいで、「(#2)のAを空集合に置き替える」のが正当なのか（空集合になんか置き換えていいのか）は厳密ではないですね。やはり、「空集合と自分自身も部分集合として認めよう！そうすると、あとの集合論の展開がらくだから。」というようなことで理解しておけばいいのかと思います。

kimu (id: 3033) （2024年3月31日23:45）

なるほど、理解できました、pならばqの否定があったのを思い出しました。最後に確認なのですが、「空集合の要素でかつBの要素ではない要素は存在しない」(#3) が成り立てば、空集合はBの部分集合です。ところが「空集合の要素」は存在しないので、Bの要素かどうかは関係無しに(#3)は成り立ちます。　「ところが〜。」の部分で「要素が0個かつ要素が存在する」という形になるから当然そんな要素はないので、Bの要素関係なしに言えるという事ですか？

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