数列の変形

a[n+1]=(n+2/n)a[n] a[1]=4 のa[n]を求める問題で、特製方程式？を使って解こうとしたのですが、うまく解けませんでした。解説お願いします。

zh akatさん、こんばんは。 １１時閉店なもので、ごめんなさい、ちゃんとした回答は明日になりますが、その前に聞いておきたいことがあります。 漸化式の(n+2/n)の部分は(i) $n+\dfrac{2}{n}$ なのか(ii) $\dfrac{n+2}{n}$ なのか、どちらでしょうか。 それから特製ではなく特性ですが、あなたが考えて使ってみた特性方程式はどんなものだったのですか？そして、それを使ってどのように変形出来て、どこで詰まってしまったのか。そこも知りたいです。できればノートを写真でアップしてください。 お待ちしています。 ============================ 追記　04/02　18:15 いやぁ、$n+\dfrac{2}{n}$ で考えていて「こりゃぁ困った」と思ってました。 $\dfrac{n+2}{n}$ なら定石があります。 $a_{n+1}=f(n) a_n$ というタイプはなんとかして $a_{n+1}g(n+1)=a_ng(n)$ の形に変形できればしめたもの。直感が必要かも。 やさしい類題としては $na_{n+1}=(n+1)a_n,a_1=3$ があります。 両辺を $n(n+1)$ で割ると、見えてきます！ この問題では、両辺を $n(n+1)(n+2)$ で割ります。これが唯一のヒントです。 これで$a_{n+1}g(n+1)=a_ng(n)$ の形になります。 じゃ、やってみてください。どうにも進まないようなら、またコメントください。 ======================= 追記　4/2　21:00 できたそうで、よかったです。 さて、どうしたら思いつくのかといっても、難しいです。上に書いた類題が一番基本的なやつで、そのパターンの解法を覚えておけばいいです。今度の問題は両辺にｎをかければ $na_{n+1}=(n+2)a_n$ となるので似てますよね。これを見て、基本の解法を思い出せば、何と何で割るかは試行錯誤で見つかるでしょう。$n(n+1),(n+1)(n+2),n(n+2),n(n+1)(n+2)$ のどれかだろうと予想を付けてやってみますよ。 $na_{n+1}=(n+3)a_n$ だったらどうしましょうかね？いろいろ考えてみてください。 それより、いま見直したら、前の追記中のヒントの割る式が間違ってました！ほんとにごめんなさい。直しておきました。ｎが抜けていました。 これで大丈夫ですか？