三角関数

お久しぶりです。 この問題に解答がなく、気になって解いてみたんですが、自分ではどうもsinθcosθの数値がないと解けない気がします。 ご指導ご鞭撻よろしくお願い致します。 追記 f(x) = sinθ−cosθにして計算したら解けました 写真の最後誤記で x ≠ -2です。

chan yukiさん、こんにちは。 あれ、久しぶりなんですね。ちょっと記録にないけど、前回はいつ頃でした？アカウント名を変えたかな？ さて、例題なのに解答がないのですか！それは困りましたね。発展例題とありますが、どんな分野の発展問題？やっぱり三角関数ですか？ ちょっと考えただけなのですが、まだうまい説明が見つからず、回答が書けません。ただ、グラフを書くと答だけはわかりました。 ｘ＝cosθ、ｙ＝sinθとして、赤いグラフがｘ²＋ｙ²＝１、青いグラフがｙ³－ｘ³＝１のグラフです。2式の連立ですから、共有点が該当し、それは（０，１）と（－１，０）ですので、求めるｙ－ｘの値はいずれの場合も１となります。これが答でしょう。 これを参考に、chan yukiさんも再度考えてみてください。解けたら、解法を教えてくれると嬉しいです。 質問者と回答者の立場が逆転してしまいますが(笑)。 私もわかり次第書こうと思います。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記　4/7　15:00 あ、綾野さんのがきれいでいいです！ わたしは、連立方程式を解きましたが、それでも出ます。何の工夫もないです。 $\cos \theta=x,\sin\theta=y$ と置き換えます。 連立方程式は $x^2+y^2=1$…① $y^3-x^3=1$…② です。 もちろんｘもｙもー１と１の間ですが、②からｙ＜０は否定されます。 （ｙ＜０だと②より$x^3=y^3-1<-1$となり、②が成り立たない) よって、①より$y=\sqrt{1-x^2}$ これを②に代入してｘ³を移項すると $(1-x^2)^{\frac{3}{2}}=1+x^3$ 両辺を2乗してできた式を展開します。 6次方程式なんて嫌なものになりますが、ｘ²でくくれて残りが４次。 因数定理でｘ＋１が２回因数として出せて $x^2(x+1)^2(2x^2-4x+3)=0$ よって実数解はｘ＝０、－１ このときｙ＝１，０ これらの値は①②を満たすので連立方程式の解である。 よってｙ－ｘ＝１ お勧めはできません（笑）が、２元３次連立方程式を地道に解けば解は求まるということも伝えたかったので書きました。 綾野さんのような置き換えのセンスがあれば、こんな面倒はしなくてもいいのですが。 以上です！蛇足でした。

簡単に方針だけ書いておきます。一度計算してみてください。 $\sin \theta \cos \theta$ を $\sin \theta - \cos \theta$ で表すことができるため、未知数が $\sin \theta - \cos \theta$ のみの問題に帰着できます。$x = \sin \theta - \cos \theta$ とおくと、$x^2 = 1-2 \sin \theta \cos \theta$ より $\displaystyle \sin \theta \cos \theta = \frac{1-x^2}{2}$ です。$\sin^3\theta - \cos^3\theta$ を $x$ の式 $f(x)$ で表して、$f(x)=1$ を解けば、$\sin \theta - \cos \theta$ が求まります。