積分・証明

この積分の問題で面積を用いない説明が一切思いつきません。答えや考え方も一切分かりません。よろしくお願いいたします(；；)

さばかん さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 「一切分かりません」！そんなに強調しなくても…。 いったい何の問題なのでしょうか？出題された状況やその意図がよくわかりませんね。 紙媒体のようですから学校や塾などの課題でしょうか。 だとすると、いずれ解説があるのでしょうから、それを聞けばいいのでしょうが、待てませんか（笑）？ ここで解説を書いてもいいけど、学校か塾よりちょっとだけ早く解説が聞けたって、あまり得にはならないような(笑)。 というわけで、不親切なようですが、あなたが考えることが一番ですので、まずはヒントや方針だけを書きますね。 これは置換積分、逆関数、部分積分の絡んだ問題です。 被積分関数としてｙと書いてあると見にくいので（このあと、ｙを変数として扱うため）$y=f(x)$ としますね。このとき、（問題に、グラフは図のように、とあるので、そのカーブの具合から逆関数が存在し、）逆関数は $x=f^{-1}(y)$ ですが、これも書きにくいので（-1と微分するダッシュ記号がやっかい）逆関数を $x=g(y)$ としておきますよ。 $dx=g'(y)dy$ ですし、 $g(c)=a,g(d)=b$ ですね。 証明すべき式は $\int_a^b f(x)dx=bd-ac-\int_c^d g(y)dy$ ということです。 一番のキモは、$x$ を置換します。なんと$x=g(y)$ という置き替えをします。 あれこれやると $$\int_c^d f(g(y))g'(y)dy$$ となり、これを部分積分します。 ここまでのヒントでやってみてください。 これでわかりますか？これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、ここまで行ったがこの先を教えてほしいとか、コメント欄に返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。会話型を目指しています。コメント、よろしく。