このサイトはお使いのブラウザでは正常に動作しません。Google Chromeなど、別のブラウザを使用してください。

定数係数1階線形微分方程式

    KK K (id: 3081) (2024年4月18日18:07)
    0 0
    (1)微分方程式 2y‘(t)+y(t)=0 を解け (2)上の微分方程式でy(0)=1を満たす解を答えよ。(初期値問題) という上記の2つの問題があるのですが、教科書の公式は「y(t)」に係数がある場合の方法しか載ってないのですが、「y’(t)」に係数がある場合の対処法を教えていただきたいです。
    (1)微分方程式 2y‘(t)+y(t)=0 を解け
    (2)上の微分方程式でy(0)=1を満たす解を答えよ。(初期値問題)

    という上記の2つの問題があるのですが、教科書の公式は「y(t)」に係数がある場合の方法しか載ってないのですが、「y’(t)」に係数がある場合の対処法を教えていただきたいです。

    回答

    くさぼうぼう : (id: 1236) (2024年4月18日18:46)
    0 0
    KK K さん、こんばんは。初めての方ですね。よろしく。 係数があっても同じですよ。 あなたの教科書がどのようにやっているのかを見たかったのですが、ないので、一般的なやり方で書きますね。 $2y'+y=0$ $2\dfrac{dy}{dt}=-y$ $2\dfrac{dy}{y}=-dt$ 両辺を積分して $2\int\dfrac{1}{y}dy=-\int dt$ $2\log y=-t+C_1$ $\log y=-\dfrac{t}{2}+C_2$ $(C_2=\dfrac{C_1}{2})$ $y=e^{-\dfrac{t}{2}+C_2}$ $y=Ce^{-\dfrac{t}{2}}$ $(C=e^{C_2})$ というわけですが、どうでしょうか? yがわかれば、初期条件を当てはめればCがわかりますね。 これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメント、よろしく。
    KK K さん、こんばんは。初めての方ですね。よろしく。

    係数があっても同じですよ。
    あなたの教科書がどのようにやっているのかを見たかったのですが、ないので、一般的なやり方で書きますね。

    2y+y=02y'+y=0

    2dydt=y2\dfrac{dy}{dt}=-y

    2dyy=dt2\dfrac{dy}{y}=-dt

    両辺を積分して

    21ydy=dt2\int\dfrac{1}{y}dy=-\int dt

    2logy=t+C12\log y=-t+C_1

    logy=t2+C2\log y=-\dfrac{t}{2}+C_2
    (C2=C12)(C_2=\dfrac{C_1}{2})
    y=et2+C2y=e^{-\dfrac{t}{2}+C_2}

    y=Cet2y=Ce^{-\dfrac{t}{2}}
    (C=eC2)(C=e^{C_2})

    というわけですが、どうでしょうか?

    yがわかれば、初期条件を当てはめればCがわかりますね。

    これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメント、よろしく。
    KK K (id: 3081) (2024年4月19日15:40)
    0 0

    返信が遅くなってしまいすみません。 わかりやすい解説ありがとうございました。 教科書に記載されていた求積法と照らし合わせながら考えたら腑に落ちました。 またその結果を使って2問目も解くことができました。 本当にありがとうございました。

    くさぼうぼう : (id: 1236) (2024年4月19日18:03)
    0 0

    あ、お役に立てたなら良かったです。またどうぞ!

    回答する