ε-N論法について

｢an=（n-1)/(n+1)のときlim[n→∞]an=1」となることをε-N論法を使って示せ。という問題についてですが、写真の解説文の青線部の意味がわからないです。 なぜ｢n≧Nとすれば|an-1|<εが成り立つ」ということが言えるのでしょうか？解説お願いします。

あか 青さん、こんばんは。お久しぶりですね！ 下から５行目で、勝手なεについて、 $\dfrac{2}{\varepsilon}-1$ より大きい整数mを使えば $|a_m-1|<\varepsilon$ が成り立つことが示されたのです。 mはいくら大きくてもいいのですが、 $m>\dfrac{2}{\varepsilon}-1$ を満たす最小の自然数Nをもちれば ｍ≧Nであれば$|a_m-1|<\varepsilon$ が成り立つ、と書けます。 ま、ｍじゃみっともないからｎに変えれば、青い線の部分になります。 けっきょく、どんなに小さいεを使っても、番号Nがその不等式から定まるのですから、極限値は１であることが示されたっていうわけです。 これで大丈夫ですか？前のように、分かったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に返事を書いてくださいね。よろしく。