方程式の実数解の個数

「定数aは実数であるとする。方程式$$(x^{2}+ax+1)(3x^{2}+ax-3)=0$$を満たす実数xはいくつあるか。aの値によって分類せよ。」 という問題について。 添付画像1枚目のように二つの式に分けて計算し、(ⅲ)のように重解も出し、解答自体はただしかったのですが、模範解答（添付画像2,3枚目）では重解のときのaの値を求めた後、それぞれの場合のxを代入によって求めています。 1枚目で赤線を引いたところのように書けば、必要十分を示すことができてわざわざ計算しなくても良いのでは無いかと思うのですが…。 模範解答のように計算をしなければならない理由を教えてください。 ご回答お待ちしております。

iPad用 7 さん、こんにちは。 ②－①でやっているのは何かというと、 もし二つの方程式に共通解があるとすれば、その共通解は②－①＝０を満たす もし共通解があるとしたら、②－①＝０の解がその共通解の一つだ 共通解があるかどうか不明な時は、「②－①＝０の解は共通解の可能性がある」「そもそも共通解を持たないときは②－①＝０の解はなんの意味もない」「②－①＝０の解があったからと言って、それが共通解である保証はない」 ということなんです。 例えば $x^2-3x+2=0$ …①、$x^2+4x+3=0$…②とするとき、②－①＝０の解はありますが、そもそも①②は共通解を持ちません。 そういうわけで、②－①＝０の解は、まだ共通解の可能性があるだけで、本当に共通解であるのかどうか、そもそも共通解があったのかどうかは、このやり方では最後に代入して確認しない限り十分ではありません。あなたが引いた赤い線のところは⇔自体があやしく、必要十分ではないのです。 これで大丈夫ですか？分かったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に返事を書いてください。よろしく。