イプシロンエヌ論法を使った問題

イプシロンエヌ論法についてですが、 写真の問題の青全部についてですが、なぜεの範囲を0<ε<2として考えてよいのでしょうか？確かに極限を求める上では写真にも書かれている通りεは限りなく0に近づけることからεの範囲を絞っても問題ないように思えるのですが、εの範囲を絞ることはイプシロンエヌ論法の定義の「任意(全て)のε>0に対して…」と書かれていることに矛盾するのでは？と思いました。なぜεの範囲を定めてよいのかの解説おねがいします。

厳密には $\varepsilon \geqq 2$ に対しても条件を満たす $N$ を見つける必要があります。今回の問題の場合は、$\varepsilon \geqq 2$ に対して、例えば $N=7$ をとれば条件は満たされます。 実際に $N=7$ をとり、$n \geqq N$ を仮定すると、$N=7$ より $n^2 \geqq 49$ です。$\varepsilon \geqq 2$ より $\displaystyle \frac{2}{\varepsilon}-1 \leqq 0$ であるから、$\displaystyle n^2 > \frac{2}{\varepsilon}-1$ です。$|a_n-1|<\varepsilon$ と $\displaystyle n^2 > \frac{2}{\varepsilon}-1$ が同値であることから、$|a_n-1|<\varepsilon$ が導かれます。条件を満たすことが確かめられました。ここで重要なのは、$\varepsilon \geqq 2$ のとき $\displaystyle \frac{2}{\varepsilon}-1$ が $0$ 以下になることです。そのため、$N=7$ でなくても $N$ として $1$ 以上の自然数をとれば、条件が満たされることが分かります。このように、$\varepsilon$ を大きくしたとき $N$ に課せられる条件が緩くなる(雑に自然数 $N$ を選んでも条件が満たされる)という事実によって、$\varepsilon$ が大きい場合を無視できるという直感が正当化されます。