微積

6E30茂木音弥 (id: 1979) （2024年4月30日19:42）

左上の式を微分したのち積分したのですが(我ながら何をしたかったのだろう)、元に戻りません。何がダメなのでしょうか。追加で質問です。幾度もすいません。三枚目の画像において定義域に着目したらなんかすごいことになっていたのですが、これは大丈夫なのでしょうか。

回答

くさぼうぼう : (id: 1236) （2024年4月30日21:16）

音弥さん、こんばんは。ある関数を微分して積分したら同じ関数になるというのは間違いです。微分するときに定数項は無視され、積分するときには積分定数が出てきて、同じ関数になる保証はありません。例えば、$(x+1)^2$ と $x^2+2x+3$ は微分すればおなじ$2x+2$ になるけれど、$2x+2$ の不定積分を求めると $x^2+2x+C$ で、見た目はまえの２つのどれとも違います。特に、三角関数で作られる関数って、変形するといろいろな形に見えて、同じかどうかの判定はけっこう難しいです。それに、不定積分では積分定数が入ってきて、定数の差だけの違いは出てきてもしょうがないです。しかも三角関数の場合は、その差の定数を $1=\sin^2x+\cos^2x$ とか $1=\dfrac{1}{\cos^2x}-\tan^2x$ を使って変形すると、見た目には全然違う形にする式変形も可能になります。さらに、いまの問題では、半角の公式や2倍角の公式があるので、見た目はますますいろいろです。まずは、微分して積分すれば元に戻る、というのは間違い。それから、三角関数を含む関数は、同じ関数でも見た目はいろいろあり、一目では同じ関数かどうかは確認できません。いろいろな数値を代入して関数値が同じになることが確認できれば、同じ関数である可能性は高いですが、それでも断定はできません。ところで、写真の右側の変形は意味がないように思います。それはたんにタンジェントの半角の公式や2倍角の公式を確認しているようです。そんなことしないで、$-\dfrac{2}{t-1}+C$ のｔに$\tan\dfrac{x}{2}$ を代入してやれば、ｘの関数として得られるので、それでいいのでは？しかし、それは微分する前の関数と同じである保証はないですよ。定数の差があるかどうかはEXCELかなんかで確認してみてください。（ごめん、ちょっとやる気にならない！）＜追記＞EXCELで確認したら、ちょうど１だけの差です。－１をつければ同じ関数ですね。これで大丈夫ですか？あなたの質問に直接は答えていないので心苦しいですが。

6E30茂木音弥 (id: 1979) （2024年5月1日18:28）

ありがとうございます。追加で質問なのですが、 f(x)と g(x) の定数項が0かつf(x) ≠g(x)かつf(x) ≠0かつg(x) ≠0 かつf'(x) =h(x) の時、 g'(x) =h(x) となるようなf(x) とg(x) の組が存在するは真ですか？

くさぼうぼう : (id: 1236) （2024年5月1日20:09）

f(x) ≠g(x)はどう解釈すればいいのかが問題です。たとえばf(x)=(sinⅹ+cosx)²とg(x)=1+sin2xはf(x) ≠g(x)なのかどうか。見た目ではなくすべてのｘについて関数値がf(x) ≠g(x)を満たし、しかも導関数が同じであるならば、f(x)とg(x)は定数だけの差がある関数です。だから整式の関数では存在しません。定数「項」があるかどうかというのはあいまいな言い方で、h(x)=sin²x+cos²xに定数項があるのかどうか…

くさぼうぼう : (id: 1236) （2024年5月1日20:20）

(続き）この問題での、初めの式と積分後の式はまさにそのf(x)とg(x)ですね。値は常に1だけ違い、導関数は同じ同じですから。

6E30茂木音弥 (id: 1979) （2024年5月2日18:23）

回答ありがとうございます。三角関数は色々な表し方ができてしまうのがすごい悪さしてしまうのがわかりました。

綾野穂香 (id: 2794) （2024年4月30日21:40）

微分して不定積分すると、元の関数に戻るのではなく、$\textbf{\textrm{定数の差を除いて}}$元に戻ります。気になったことが $3$ つありますので、見直してみてください。 1. $t$ について解くときに、二次方程式の解の公式を使っていますが、公式を使う前に、方程式が本当に二次方程式か確かめる必要があります。$x^2$ の係数が $0$ でないと限らないときは、場合分けする必要があります。 2. $\displaystyle \tan \frac{x}{2}$ が $\displaystyle \Bigl(\frac{\pi}{2}, 1\Bigr)$ を通ることから、$\displaystyle t=\frac{-\cos x-1}{\sin x}$ の可能性は排除できます。 3. 元の関数と不定積分して得られた関数の差を計算(通分して整理)すれば $(\textrm{定数})+C$ という形になるはずです。適切に積分定数 $C$ を選べば、差を $0$ にすることができ、元の関数に戻ることが確認できます。

（追記: 2024年5月1日23:06）

$\tan x$ を $\displaystyle \frac{2t}{1-t^2}$ のように $t^2$ を使って表した時点で、二次方程式が解を二つ持つ可能性に対処しなければなりません。回避するためには例えば、 $$ \begin{align*} t &= \dfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{\cos \dfrac{x}{2}} \\ &= \dfrac{2 \sin \dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}}{2 \cos^2 \dfrac{x}{2}} \, (\because \textrm{分母・分子に } 2 \cos \dfrac{x}{2} \textrm{ をかける}) \\ &= \dfrac{\sin x}{1+\cos x} \, (\because \textrm{倍角・半角の公式}) \end{align*} $$ あるいは、 $$ \begin{align*} t &= \dfrac{\sin x}{1+\cos x} \\ &= \dfrac{\sin^2 x (1-\cos x)}{\sin x(1+\cos x)(1-\cos x)} \, (\because \textrm{分母・分子に } \sin x(1-\cos x) \textrm{ をかける}) \\ &= \dfrac{1-\cos x}{\sin x} \\ \end{align*} $$ のように計算すれば $t$ を $\sin x$ と $\cos x$ で表すことができます。写真三枚目のtan置換が適切かどうかについては、結論から言えば適切ですが、高校数学では扱わない話に繋がるので、説明の仕方に悩んでいます。https://schoolmathans.blogspot.com/2020/05/tanx2.html や https://math.stackexchange.com/questions/1653406/anti-derivative-of-continuous-function-frac12-sin-x が参考になるかもしれませんが、もしかしたら余計に混乱するかもしれません。

6E30茂木音弥 (id: 1979) （2024年5月1日18:35）

ありがとうございます。 2についてもう一つ質問があるのですが、このようにt=-cosx-1/sinxのような場合が生じてしまったのは何故なのでしょうか。また、最初からこのような場合が発生しないようにtの値をsinx,cosxのみで表すにはどうすれば良いのでしょうか。

綾野穂香 (id: 2794) （2024年5月1日23:10）

回答に追記しました。追加の質問は、目の止まりやすさを考えると、新規で質問を作成した方が、いいかもしれません。

6E30茂木音弥 (id: 1979) （2024年5月2日20:38）

回答ありがとうございます。一つ目のサイトを拝見したところ、疑問点が見つかりましたので新規で質問を致します。ご確認頂けると幸いです。

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