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斜めの楕円
4x^2+2xy+3y^2=1をΘ回転するとx^2/a^2+y^2/b^2=1という形に表せる事を示したいのですが、どうアプローチすれば良いでしょうか。Θの存在条件で考えようと思ったのですが、1行目から手が止まってしまいました。複素数平面は学習済みですが、行列には疎くネットに転がっている一般的なやり方は理解できませんでした。
よろしくお願いいたします。
回答
音弥 さん、こんにちは。
あなたのノートの上から5行目あたりに書いてある変換の2式を、とにかく元の方程式に代入してガンガン計算します。するとX²、Y²、XYの3種類の項が出ますが、XYの項の係数がちょうど０になるようなθが存在することを示せばいいです。
XYの係数＝０から $\tan\theta=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ がえられる（計算間違御免）ので、それを満たすθだけ回転すればXYの項は消えます。あとはX²、Y²の係数が正であることを示します。これも $\cos^2\theta$ で括って $\tan\theta$ の2次式になり、それは正であることが示せますよ。
途中の計算は書くのが大変なので省略ですみません。やってみてください。
これで大丈夫ですか？
4x^2+2xy+3y^2=1の場合はできました。 そこで、一般化して、Θが存在するためのAとBとCの条件を考えようと思い、計算をすすめた所、追加致しました画像の最後の行において、ABCの正負の8つと不等式の判別式の二つである合計16個もの場合わけは発生してしまいます。これを回避する方法はありますでしょうか。
https://examist.jp/mathematics/quadratic-curve/nijikyokusen-hyoujyunka/ の一番下の方に、2次曲線の一般形についての議論があります。ご参考に。 あとは、他の方の回答を待ってください。
ax^2+bxy+cy^2の所のみで2次曲線の形が定まるのは驚愕の事実でした。ありがとうございます！
すいません。追加で質問です。 くさぼうぼうさんが送ってくださったサイトの一番下に記載してある第二の判別式とはどのようなものなのでしょうか。