素数問題2

前回はありがとうございました。解決しました。 今回は少し問題数が多いですがよろしくおねがいいたします。 (1)正の奇数nに対し、 n＝x^2-y^2・・・(＊) を満たす整数x,y(x>y≧0)が存在することを示せ (2)n＝15について　(＊)の表示を2通り与えよ (3)正の整数nが4で割り切れるならば(＊)のように表示されることを示せ (4)正の奇数nが(＊)のように表示されるための必要十分条件は、n≢2(mod4)であることを示せ (5)正の奇数nの(＊)のような表示が一意的、すなわち、 n＝x^2-y^2＝u^2-v^2(x,y,u,vは整数、x>y≧0、u>v≧0)⇒(x,y)＝(u,v)であるための必要十分条件は、nが奇素数であることを示せ ヒントとして、 (1)でn≡1,3(mod4)などnが奇数のとき表示されることを示し、(3)でn≡0(mod4)を示したので、(4)ではn≡2(mod)のとき表示できないことを示す、だそうです。 一応自力では、(1)の方針を立てるところまでは来ました。 x^-y^2＝(x＋y)(x -y)が奇数になるのは両者が奇数のときなので、x＝2n,y＝2m＋1の場合と、x＝2m＋1,y＝2nの場合とで計算するとそれぞれ4(n^2-m^2＋n)＋1、4(m^2-n^2＋m)＋1となる　みたいな感じです。 よろしくおねがいいたします。

ああさん、こんにちは。 私はあまりｍｏｄはうまく使えないので、普通に式の利用でやっています。 (1)　$n=2k-1(k\geqq1)$ とすると $2k-1=(x+y)(x-y)$ $x+y=2k-1,x-y=1$ としたとき、$x=k,y=k-1$ で、 このとき $n=x^2-y^2$ が成り立つので、題意は示された。 (2)　$n=pq(p\geqq q)$ と書けるとき、$x+y=p,x-y=q$ とすれば $x=\dfrac{p+q}{2},y=\dfrac{p-q}{2}$ x,yが整数となるには、p,qともに偶数またはともに奇数。 15=5×３なので、p=5,q=3とすれば、 $x=4,y=1$ また、(1)の方式からは$x=8,y=7$ 2通りの表示が得られた。 (3)　$n=4k$ と書け、$4k=(x+y)(x-y)$ ここで $x+y=2k,x-y=2$ とおけば、$x=k+1,y=k-1$ よって $n=4k=(k+1)^2-(k-1)^2=x^2-y^2$ と表現できる。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記5/6　21:25 (4)　じゃ、ｎは正の整数ということで。 答案になってないけれど…あとはうまく書いてください。 （←）ｎが2(mod4)でないときは、(1)(2)(3)より（＊）のように表示される。 （→）自然数ｎが（＊）のように表示されたとする。 ここで平方数はmod4をとると、０か１に合同となる。 $n=x^2-y^2$ で ｘ²≡０、ｙ²≡０ならｘ²－ｙ²≡０ ｘ²≡１、ｙ²≡０ならｘ²－ｙ²≡１ ｘ²≡０、ｙ²≡１ならｘ²－ｙ²≡－１≡３ ｘ²≡１、ｙ²≡１ならｘ²－ｙ²≡０ となり、ｘ²－ｙ²は2(mod4)にはならない。よってｎも2(mod4)にはならない。 (5)　$n=2k-1=pq=(x+y)(x-y)$ より、 $x=k,y=k-1$ と $x=\dfrac{p+q}{2},y=\dfrac{p-q}{2}$ の２通りの表示ができる。このとき、 この表示が一致するなら、 $k=\dfrac{p+q}{2},k-1=\dfrac{p-q}{2}$ これよりｑ＝１が導け、ｎが因数に分解できたとするとｎ×１しか表現できず、ｎは素数である。 よってｎは奇素数！ 自分はmodがうまく使えないのでこのような解法になりましたが、きっとmodを上手に使うともっとスマートな解法があるのではないかと思います。あまりいい解答ではなくてすみません。 これで大丈夫ですか？