イプシロンデルタ論法による連続の定義について

イプシロンデルタ論法の定義についてですが、写真の青線部がわからないです。 0<を除いて|x-a|<δや、0<を加えて0<|f(x)-P|<εというような表記はできないのでしょうか？ |x-a|<δ→|f(x)-P|もしくは0<|x-a|<δ→0<|f(x)-P|<εと0<を統一？させないのはなぜですか？解説お願いします。

あか 青 さん、こんにちは。 0≦|a|と0<|a|とは意味が異なります。 0≦|a|は言わずもがな。０≦は当然のことですから、書かなくても何の問題もないし、書いたからと言って意味が付け加わることもありません。 でも0<|a|のほうは|a|=0を除いていますので、a=0ではないことを意味しています。 $0<|x-a|$ というのは、ｘはａにはならないのです。０とはδ未満離れていますが、０に一致することはありません。 かたや $|f(x)-P|<\varepsilon$ のほうは、f(x)の値がPになっても構わないのです。 というわけで、意味が異なるので、それぞれ適する場所で使います。しかも、この場面では＜と≦は区別して使わなくてはならず、統一はできません。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。 ======================== コメント拝見。 ①ｘがａに限りなく近づくというのがlimです。ｘがａになったときは関数値f(a)です。関数値と極限値は異なることがあります。 たとえば $ f(x)=x(x\ne 1),f(1)=2$　という不連続な関数でｘ＝１での極限値を考える時、εーδ法で仮定の時にｘ＝１のときも考えてしまったら、後半の式を満たすδは存在しません。ｘ≠１のときを考えて極限値がわかります。極限値は１、関数値は２。 ②「f(x)=Pになる場合を考える」のではなく、f(x)=Pであっても構わない。そのような場合を排除しない、ということです。εの範囲の中で関数値がPになったって｜f(x)-P|＜δとなるデルタは存在しますし。 これで大丈夫ですか？