指数の最大・最小

写真の問題の(A)の(2)についてなんですが 最初にa^2の最小値を相加平均・相乗平均で 求めています。 僕は a>0だからa^2>0と範囲を決めてしまいました。この場面で相加平均・相乗平均を使うという発想に至るまでの考え方を知りたいです。

しみ りつ さん、こんばんは。 (1)の初めの方で与式＝$(49^x)^4+(49^{-x})^4$ と変形していますが、これをさらに $=(49^4)^x+(49^4)^{-x}$ と考えられれば、定石として相加相乗平均の関係を使おうと思えるといいのです。 $a>0$ のとき $a+\dfrac{1}{a}\geqq2$ すなわち $a+a^{-1}\geqq2$ が頭に入っていれば思いつく解法ですね。 ただ、写真の解答を読むと、ちょっとおかしいと思います。 (2)は(1)を使って解くという方針のようで、そんな解答を書いてありますが、まるで無駄なことをやっています。 単に$7^{8x}+2401^{-2x}=(49^4)^x+(49^4)^{-x}$ $(49^4)^x>0,(49^4)^{-x}>0$ なので、相加相乗平均の関係から $(49^4)^x+(49^4)^{-x}\geqq 2\sqrt{(49^4)^x\cdot(49^4)^{-x}}=2$ 等号は $(49^4)^x=(49^4)^{-x}$ すなわち $x=0$ のとき成立。 よって与式の最小値はx=0のとき２． で終わりだと思うのですが。 写真の解答はどうしても(1)を使いたいようですが、意味ないです。 これで大丈夫ですか？分かったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に書いてください。