コーシーシュワルツの不等式 内積の最大最小

この問題はコーシーシュワルツの不等式を利用して解けるのですか？ 解けるなら解き方を教えてください

ら た さん、こんばんは。 ベクトルOP=(x,y)、ベクトルOQ=(u,v)とします。 写真の問題の上にある別解のように 内積xu+yvについてコーシーシュワルツの不等式より $(x^2+y^2)(u^2+v^2)\geqq(xu+yv)^2$ が成り立ち、 図よりわかる通り $x^2+y^2\leqq(2\sqrt{2}+2)^2,u^2+v^2\leqq(\sqrt{2}+1)^2$ だから $(x^2+y^2)(u^2+v^2)\leqq(2\sqrt{2}+2)^2\cdot (\sqrt{2}+1)^2$ 等号は $x=y=2+\sqrt{2},u=v=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のとき。 $(2\sqrt{2}+2)^2(\sqrt{2}+1)^2\geqq(xu+yv)^2$ $-(2\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}+1)\leqq(xu+yv)\leqq (2\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}+1)$ コーシーシュワルツの不等式の等号成立はあくまでも $x=y=2+\sqrt{2},u=v=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のときだから、内積は負で、 $-(2\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}+1)\leqq(xu+yv)$ のみ成り立つ。よって最小値はわかった。 最大値の方は、このやり方で分かるのかどうかわからないです。 しかし、図からOPとOQのなす角は90°以上らしく、最大値は90°になるときの０かも。 答をお持ちなら、教えてください。 自信のない解答です。