1階常微分方程式　同次形　ベルヌーイ型

次のような問題があります。 【次の微分方程式の一般解を求めよ】 (1)xy‘=x+2y (2)y’+xy=xy^2 そして、下の画像のように解いてみました (1)は、cx^2-xという答えにならなければいけないのですが、違う答えになってしまいました。解法自体は会っていると思うのですが、どこでどのように間違えているのか教えていただきたいです。 (2)は、画像の太い矢印の導出過程がよく分かりません。詳しく教えていただきたいです。 よろしくお願いします

KK K さん、こんにちは。 （１）下から4行目を真数の式にするところで間違ってますね。積分定数Ｃは次の行に置くときは＋Ｃにはなりません。 右辺＝$\log|x|+C$ $=\log|x|+\log(e^C)$ $=\log\big(|x|\cdot e^C\big)$ で、$e^C$ は定数なので、これを改めてＣと書くと $=\log C|x|$ です。このあとはやってみてくださいね。 （２）まず上から5行目は、u'の前にマイナスが付きますね。 $-u'+ux=x$ $u'=x(u-1)$ $\dfrac{du}{u-1}=xdx$ $\int \dfrac{1}{u-1}du=\int xdx$ $\log|u-1|=\dfrac{1}{2}x^2+C$ $|u-1|=e^{\frac{1}{2}x^2+C}$ う～む、絶対値はどうしましょうかね？ 絶対値を外してu=に変形すると $u=\pm e^{\frac{1}{2}x^2+C}+1$ $=\pm e^C\cdot e^{\frac{1}{2}x^2}+1$ ここで$\pm e^C$ は定数なので、改めてCと置くと $u=Ce^{\frac{1}{2}x^2}+1$ この後はだいじょうぶでしょうか。 最後、C=0ならｙ＝１では？