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無理数の整数部分と小数部分

    松久 明優 (id: 2523) （2024年5月14日21:21）
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    練習9の(1)の整数部分を求める問題で2√5＝√20から√16＜√20＜√25はどのようにしてそうなったのですか？

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    回答

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2024年5月14日21:42）
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    松久 明優 さん、こんばんは。 写真のピントが合ってなくて見えないよ～。左の下のところかな？数字判読できない！ ま、でも想像して… $2\sqrt{5}=\sqrt{20}$ より $\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}$ って書いてあるのかな？ その「より」っていうのがちょっと変ですね。 「ところで」の方がいいかも。 整数部分を知りたいのですよね。 平方数のルートは整数部分がはっきりしています。というか、整数そのものですね。 なので、平方数で挟んで、$\sqrt{20}$ の大きさを知ろうとしているのです。 だから平方数４²＝１６や５²＝２５を持ち出したのです。自然に１６や２５が出てきたのではありません。 詳しく書きます。 ２０を連続した平方数で挟みます。この場合は ４²＜２０＜５²　です。 この３数の平方根の大小関係はそのままですから $\sqrt{4^2}<\sqrt{20}<\sqrt{5^2}$ よって $4<\sqrt{20}<5$ であることが分かり、 $\sqrt{20}$ は $4.\cdots$ つまり4.2…とか4.4…とかであることがわかり、 整数部分は４だと結論が出ますよ。 「どのようにしてそうなったのか」という質問でしたが、「平方数で挟みたい！」というのが答です。 これで大丈夫ですか？コメント欄になにか返事を書いてください。
    松久 明優 (id: 2523) （2024年5月14日21:59）
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    なぜ√16と√25で挟むのかがわからないです。 最終的な整数部分の答えは2と書かれています。

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2024年5月14日22:31）
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    ①２０に近い連続した平方数だからです。 ②私が４と書いたのはあくまでも√２０の整数部分です。問題がはっきり読めないので、なんの整数部分を答えようとしているのかわかりませんので、よ～くみると２√５－２の整数部分ですね。「ひく２」があるので２√５そ整数部分４から２を引いて答は２ということでしょうか。 とにかく、次回からはもう少しはっきりした写真を見せてね。

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2024年5月14日23:09）
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    追加の説明①たとえば１９と２１で挟んだところで、それらのルートを調べても ただ√１９＜√２０＜√２１となるだけで簡単にはなりません。 でも１６＜２０＜２５という風に平方数で挟めば、それらのルートをとれば √１６＜√２０＜√２５　より ４＜√２０＜５　となり、√２０が４より大きく５より小さいことが分かりますね。 これでわかりますか？

    松久 明優 (id: 2523) （2024年5月15日7:33）
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    2＜2√5-2＜3からどのようにしてa＝2になったのですか？

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2024年5月15日11:10）
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    2<x<3に当てはまる数を言ってみてください。2.34 とか 2.001 とか 2.9999 …全部整数の部分（小数点より上の数）は２ですよね。 2<x<3に当てはまる数の整数部分はどれも2ということになります。 2＜2√5-2＜3なので、2√5-2は上のｘに当てはまり、整数部分は2であることが分かるのです。 これでどうでしょうか？

    松久 明優 (id: 2523) （2024年5月15日21:03）
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    普通に2＜2√5-2＜3を計算して求めないんですか？

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2024年5月15日21:39）
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    ちょっと質問の意味をつかみかねるのですが、普通にって、どういうことかな？計算するってどこを？もうすこし詳しく書いてください。ひょっとすると根本的な質問かな？2√5-2≒2×2.2360679-2＝4.4721358-2=2.4721358だから整数部分は２って計算するってこと？それなら最初から８÷(2.2360679+1)を計算すればいいわけで。数学っていうのはしっかりした根拠を用いて論理的に証明することなのです。√５≒2.2360679はどういう根拠で出てきたのですか？と聞かれたら困るでしょ。だからどこからも文句が出ないしっかりした根拠に基づいて整数部分は2であることを示したかったのです。これでどうでしょうか？

    松久 明優 (id: 2523) （2024年5月15日23:37）
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    質問が多くてすみません。 2＜2√5-2＜3からa＝2になったのをもう少し詳しく教えていただきたいです。

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2024年5月16日9:01）
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    まえのコメントのように近似値で計算すると2√5-2≒2.4721358であることが分かりますから、2√5-2の整数部分っていうのは2.4721358の小数点より上の２ということになります。aは整数部分ですから、これがa=2ということですね。 前のコメントに書きましたが、証拠を積み重ねていって2＜2√5-2＜3であることがわかりました。２より大きく３より小さい数だという意味です。だから2.3か2.0001か2.9999999か2.4721かは不明でも、とにかく整数部分は2であることが示されたのです。近似値とか使っていませんので文句なしの説明です。答案上は「2＜2√5-2＜3であるから整数部分a=2である」とだけ書けば十分です。これでわかりますか？

    松久 明優 (id: 2523) （2024年5月16日15:58）
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    解決できました！ ありがとうございます！

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2024年5月16日16:18）
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    あ、よかったです！

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