確率　同じものを含む

赤玉5個、白玉4個、青玉2個が入っている袋から4個の玉を同時に取り出す。 このとき3色すべての色の玉が出る確率は？ という問題で まず赤、白、青から一つ取って、残りの8個から一つ取ると考える。 5C1・4C1・2C1・8C1／11C4＝32／33 と考えたのですが、どこが間違っているのでしょうか。 回答はどの色の玉を何個取り出すかで分類して　答えは　16／33 でした。

さ　さん、こんにちは。 よくある質問です。 あなたの計算では、同じものを2回数えてしまうことになります。 たとえば、まず色違いで３個選んだ時に赤A、白A、青Aを選び、４個目に赤Bを選んだ場合と、 まず色違いで３個選んだ時に赤B、白A、青Aを選び、４個目に赤Aを選んだ場合とは、本来は１つの事象ですが、あなたの計算では別なものとして２回数えてしまいます。これが間違いの元です！ 模範解答はどうやっているのか見えませんが、これも余事象「４個取ったら１色か２色である」確率を１から引くのがいいのではないかと思いますが、それもけっこう慎重に考えないとダブってしまいます。 模範解答は理解できたのですか？ これで大丈夫ですか？分かったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。