複素数平面

一枚目の画像の方針でωの軌跡を出すにはどうすればよいでしょうか。 二枚目が解答です。

音弥 さん、こんにちは。 複素数平面の問題は、なるべくなら複素数の世界の中で解くのがいいですが、ｘｙ平面に戻すという手もあります。 あなたがRe(z)やIm(z)を持ち出した時点で、複素数平面の世界から離れ始めているように思います。 Re(z)＝ｘ、Im(z)＝ｙとしてｘｙ平面に戻っていると思うのです。 Re(z)＋Im(z)=1/2などはxy平面の世界です。 それならもう $w=X+Yi=\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+yi}=\dfrac{x-yi}{x^2+y^2}$ として、これとx+y=1/2（０≦ｘ≦1/2）からｘを消去してX,Yの関係を導く方向ではどうでしょうか？ それほどらくな計算とは思えませんが、Re(z)やIm(z)を持ち出し、結果的にRe(wの式）などからｗの満たす条件を求めるのは大変そうです。 と、私は思うのですが、綾香さんあたりがうまい解答を書いてくれるかもしれません。

$\mathrm{Re}\left(\dfrac{1}{\omega}\right)+\mathrm{Im}\left(\dfrac{1}{\omega}\right)=\dfrac{1}{2}$ が分かっているのであれば、$\omega=X+Yi$ とおいて、$\mathrm{Re}\left(\dfrac{1}{\omega}\right)$ や $\mathrm{Im}\left(\dfrac{1}{\omega}\right)$ を直接計算する手法が有効です。$\dfrac{1}{\omega} = \dfrac{X-Yi}{X^2+Y^2}$ より、$\mathrm{Re}\left(\dfrac{1}{\omega}\right)=\dfrac{X}{X^2+Y^2}$ および $\mathrm{Im}\left(\dfrac{1}{\omega}\right)=\dfrac{-Y}{X^2+Y^2}$ です。これを $\mathrm{Re}\left(\dfrac{1}{\omega}\right)+\mathrm{Im}\left(\dfrac{1}{\omega}\right)=\dfrac{1}{2}$ に代入して整理すれば $(X-1)^2+(Y+1)^2=2$ が得られます。この関係式から $\omega$ の軌跡は分かりますが、必要であれば複素数の絶対値の定義を用いて、$|(X-1)+(Y+1)i|^2=2$ より $|(X+Yi)-(1-i)|=\sqrt{2}$ よって $|\omega-(1-i)|=\sqrt{2}$ のように $\omega$ を復元することができます。 $\textbf{\textsf{（追記: 2024年5月20日21:06）}}$ くさぼうぼうさんの解法も私の解法も、xy平面上の軌跡問題に帰着させるという発想は共通です。$\mathrm{Re}(z)$ や $\mathrm{Im}(z)$ を持ち出した時点で、この発想に辿り着くのは、私も自然な流れだと思います。くさぼうぼうさんの解法では、$\mathrm{Re}(ω)$ や $\mathrm{Im}(ω)$ を $\mathrm{Re}(z)$ や $\mathrm{Im}(z)$ で表して、$\mathrm{Re}(z)$ と $\mathrm{Im}(z)$ を消去するという方針を選んでいます。この方針を選ぶと、$\mathrm{Re}(z)=\dfrac{1}{2}-\mathrm{Im}(z)$ を代入し、さらに媒介変数 $\mathrm{Im}(z)$ を消去するという複雑な計算を行う必要があります。そこで、私の解法では、$\mathrm{Re}(z)$ や $\mathrm{Im}(z)$ を $\mathrm{Re}(ω)$ や $\mathrm{Im}(ω)$ で表して、$\mathrm{Re}(z)$ と $\mathrm{Im}(z)$ を消去するという方針を選んでいます。この方針を選んだ場合は、$\mathrm{Re}(z)+\mathrm{Im}(z)=\dfrac{1}{2}$ に代入することで、同時に二つの変数を消去することができます。このように、変数を消去する手間が少ないのはどちらかという観点で問題を見ると、計算量を減らす工夫ができます。