イプシロンデルタを用いた問題

以前にも質問させていただいたのですが、理解することができなかったので再度質問させていただきます。 写真の問題の赤線部のように仮定すると、|F(x0)-4|>1/2という示したいものと矛盾する形が出てくることから赤線部では右辺をmin{δ,1/2}としていると思うのですが、イプシロンデルタ論法の定義から|x0-1|<δのδは特定のδ(ヨδ)であることからmin{δ,1/2}ではなく |F(x0)-4|<1/2となるような(矛盾しないよう)|x0-1|の範囲を考えればよいのではないのでしょうか？ なぜあえて、矛盾するようなmin{δ,1/2}を赤線部の右辺に持ってこれるのでしょうか？赤線部の右辺はεに応じて変わるものだから、任意の値ではないですよね？伝わりにくい文章ですが、解説おねがいします。 https://d.kuku.lu/wfk7z6axs