導関数の定義について

1番の問題の解説、星をつけているところが、なぜこのような式になるのか教えていただけますでしょうか。 手書きで星マークついた式の横に書いた解釈は間違っていますでしょうか。 2番のように、簡単な式の微分を定義を使ってやるのは理解できるのですが、1番が理解できていないです。。

eriさん、こんばんは。 「なぜこのような式になるか」と考えても無理です。自然にはそうはなりません。 これはもう、この手の問題を解くためのテクニックでして、「なるほど、そうやったらうまくいくんだ～！」と、感心して読むしかありません。しっかり感動すれば、使えるようになります（保証はできませんが(笑)）。 分子をなんとかして導関数の定義式に合うようにするテクニックです。 分子に０を足しても害はないので、０であるような-f(1)+f(1)を足しました。 そして、そのようなところに-f(1)と+f(1)を置くとうまく導関数の定義が使えるようになるのです！！ 後ろの方は $-x^3f(1)+f(1)$ を$f(1)$ でくくってやると $(-x^3+1)f(1)$ つまり $-(x^3-1)f(1)$ となり、 $\lim _{x\to 1}\dfrac{x^3-1}{x-1}$ が関数 $y=x^3$ の $x=1$ における微分係数の定義になっています。というか、そうなるように作りました。 だから３ｘ²になり、ｘ＝１を代入すれば3になります。 と思って書いたのですが、もう一度解答を見たら、微分係数を使わないで約分してしまい、ｘ＝１を代入しているのですね。 せっかくだから微分係数の方を使った方が美しいと思いますが。余計なことを書いてしまいました。 「後ろの方は」以下は無視しても大丈夫です。失礼しました。 これで大丈夫ですか？