漸化式

写真の問題なのですが bn =n×anとするのは明確な理由があるのでしょうか n×an =(nー1)×anー1 に変形すると求められるのは思いついたのですが 偶然の思いつきで、明確な理由を理解した上での変形ができません。 よろしくお願いします

しみ りつ さん、こんばんは。 明確な理由……あるのかなぁ？ 数学の問題を解くとき、いつでもその問題ごとに決まったやり方があるわけではありません。 あれこれ工夫してみて、1つの方針でやってみたがダメだったら別のやり方で、というトライアンドエラーで解きますよ。 一目見てやり方がわかる場合というのは、よほど基本的な問題なのか、自分がかつて似た問題をやったことがある場合でしょう。 そういう意味では、多くのパターンの問題に当たっておくのは勉強の一つですね。 この漸化式、あなたにとっては初めてだったのでしょうか。でもここで「分母をはらってみたら同じ形が出てきた！」という経験をしたのですから、似たようなタイプの漸化式に対しては、似たようなことをやってみることができますね。それで脳みそのしわが1本増えて頭が良くなったということだと思います。 類題 １．$2a_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}a_n,a_1=2$ 2. $2a_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}a_n+\dfrac{1}{n+1},a_1=2$ →ちょっと計算が多いかも ３．$na_{n+1}=(n+1)a_n,a_1=3$ →これも計算が多いですが（ちょっとひねってあります） ４．$a_{n+1}=\dfrac{n}{n+2}a_n,a_1=3$ →なかなか気が付かないかも。気が付いたら相当なものです。 ま、完全に類題だとはいえないけれど、一度経験しておいて損はない問題です。 もしやってみたら、見ますよ。あるいは、質問してください。