全微分の式変形

マーカーを引いた3行が、なぜこのように式変形されるのかわかりません。 まずd(x^3)という書き方の意味がわかりません。

neo power さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 主に中高の数学の質問に答えているので、大学の方はあまり回答できません。自信がありません。もっと違う説明があるのかもしれません。 $\dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^2+2xy-2y^2$ より $f=x^3+x^2y-2xy^2+p(y)$ …① また、$\dfrac{\partial f}{\partial y}=x^2-4xy$ より $f=x^2y-2xy^2+q(x)$ …② ①②は等しいから、 $q(x)=x^3,p(y)=0$ 以上より $f=x^3-2xy^2+x^2y$ でもいいと思います。 その解答は $\dfrac{d(x^3)}{dx}=3x^2$ だから $d(x^3)=3x^2dx$ すなわち $3x^2dx=d(x^3)$ また $2xy$ から $x^2y$ を起想して $\dfrac{d(x^2y)}{dx}=2xy+x^2\dfrac{dy}{dx}$ より（積の微分法） $d(x^2y)=2xydx+x^2dy$ よって $2xydx=d(x^2y)-x^2dy$ などとやっているようです。 これで大丈夫ですか？