漸化式の問における式変形について

数B 数列 漸化式の問題中の式変形についての質問です。 1枚目画像の印をつけた部分の変形ができる理由は同画像下部に書いたもので正しいでしょうか？ 間違っていましたらその理由も併せて教えていただきたいです。 また、2枚目の画像にある僕の解答だと誤りになる理由も教えていただきたいです。 よろしくお願いします。 返信ありがとうございます。 画像を追加しました。 3,4枚目が問題文及び模範解答となります。 最終的に出た値が微妙に違っています。 dn+1をdnに置き換える時にn-1をn-2に合わせて置き換えたのですが、それが原因でしょうか…

やまと さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 1番目の質問、あなたの考え方であってます。 ちょっと詳しく書きます。 ⑤式が得られた時点で、その解答では明示されていませんが、頭の中では 数列 $c_n=\{d_{n+1}+\dfrac{1}{3}d_n\}$ というものを考えています。すると⑤は $c_{n+1}=\dfrac{2}{3}c_n$ となり、 数列 $\{c_n\}$ が等比数列であることが分かります。 そこからｎ≧２のときの一般項 $\{c_n\}$ を表したものが⑦式です。 一般項を書いたのだという理解でもいいのです。 2番目の質問 え？間違いなのですか？正しいように思いますが。正解は何なのでしょうか。 条件ｎ≧２がついています。n=1のときもその式が成り立つのかどうかは、問題がわからないので答えられません。 質問の時は、問題全体と，解答があるならそれも示してくれると助かるのですが。 これで大丈夫ですか？これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に何か返事を書いてください。会話型を目指しています。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメント、よろしく。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記　6/5　18:50 画像とコメント、拝見。 すみません、私のチェックが甘かったようです。 あなたの答案の（見えている範囲での）５行目、この式の左辺は一般項ではないですね。 上の回答に書いた $c_n$ の一般項は $d_{n+1}+\dfrac{1}{3}d_n$ ですよ。 $c_n=c_2\Big(\dfrac{2}{3}\Big)^{n-2}$ です。 ８行目も同様です。 ここで番号が１つずれてしまったのですね。 あなたの答案をしっかり見なかったようです。失礼しました。 これで大丈夫ですか？