積分

先生から、積分はなるべく置換せずにやれと教わったのですが置換しなければ解けない問題もあると思うので、違いが難しいです 例えば（sinx)^3の積分であれば、 (1-cosx)^2 × sinx =sinx - (cosx)^2 sinx と変形し、2枚目の公式を使うことができ置換せずに済むと思います。 写真の問題も、このように変形して公式を使って置換せずに解けるのでしょうか

レイリさん、こんにちは。お久しぶりですね。 先生が「なるべく置換せずに」とおっしゃったそうですが、ま、私はどんどん置換した方が見通しがきいて楽だよと言ってきました。 なぜ「なるべく置換せずに」なのかなぁ。その利点も聞きましたか？ さて、2枚目の写真の中味ですが、これって置換積分の考え方と大差ないように思えます。 f(g(x))g'(x)を積分したかったら、すぐにg(x)=tと置換するのが普通だと思いますが、置換せずに、それは合成関数が微分されたものだとみるわけですね。 その考えで行けば、写真の問題の被積分関数は $\dfrac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x} \sin x$ と書き換えられるので $-\dfrac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x} (\cos x)'$ だから、$f(t)=-\dfrac{1-t^2}{t^2},g(x)=\cos x$ と考えて あとは $F(t)$ すなわち $\int -\dfrac{1-t^2}{t^2}dt=\int (-\dfrac{1}{t^2}+1)dt$ の計算をすれば求まりますね。 これで大丈夫ですか？ やっぱり最初から$\cos x=t$ と置換する考えの方が素直だと思いますが… これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に何か返事を書いてください。よろしく。