完全平方

なぜ画像のような開放である整数の2乗と分かるのですか？

本田 好香 さん、おはようございます。 平方数とはある数の2乗になっている数ですね。 平方数Aがある数ｐの2乗になっているとします。 ｐを素因数分解すると、いろいろな素数の何乗かがでてきます。 たとえば５³があったとします。 ｐを2回かけた数は５³が2つ分ですからAを素因数分解すると５⁶が出てくるわけです。 指数の部分が必ず偶数になるのはわかりますか？ ｐに７が1個あれば、Aには７が2個あるはずです。だってｐを二回かけていますから、７が2個含まれます。 というわけで（ちょっと説明不足かな？)　、平方数には元の数から同じ個数だけの素因数が来ますから、どの素数に関しても必ず偶数乗になっているのです。 ですから、平方数を作るには、出来上がった平方数は素数の偶数乗ばかりになっていなければなりません。 その問題では５０４＝２³・３²・７¹　で、２と７は偶数乗ではありません。これを偶数乗にするには２と７が最低1個ずつ必要になるのです。 つまり２×７＝１４をかければ２は4乗になり、７は2乗になって、めでたく偶数乗になります。 ５０４×１４＝２³・３²・７¹×２・７＝２⁴・３²・７²＝（２²・３・７）×（２²・３・７）＝８４×８４＝８４²　です！ また、５０４の２と７を1個ずつ取り去っても２²・３²となり、すべて偶数乗になりますから、５０４を１４で割っても平方数が作れます。 ５０４÷１４＝２³・３²・７¹÷（２・７）＝２²・３²＝（２・３）×（２・３）＝６²　です！ 平方数を素因数分解したら、どの素数も偶数乗になっているはず！ というのがポイントです。 これで大丈夫ですか？まだこのへんがわからないから説明してほしいとかありましたら書いてください。質問もしにくいかもしれませんが…がんばって。